Esercizio di algebra lineare

[Sk_Anonymous]

Sia V un K spazio vettoriale e sia E c V un sottospazio di V diverso da V e diverso dall'insieme vuoto. Provare che V-E e (V-E)U(0) non sono sottospazi di V.
un grazie a chi mi risponde

[miuemia]

per il primo punto non è un sottospazio in quanto $V-E$ non contiene l'origine nel secondo caso se $dim(E)=1$ allora sia $v\inV-Euu{0}$ considera la riflessione di $v$ di asse $E$ e sia $w$ il trasformato di $v$ allora ovviamente $w\inV-Euu{0}$ ma $v+w!inV-Euu{0}$ in quanto sta in $E$.
se $dim(E)>1$ allora sicurmente in $E$ vi sta un sottospazio vettoriale unidimensionale e basta che ripeti il ragionamento di prima per tale sottospazio.
ciao ciao

[zorn1]

"nick3000":Sia V un K spazio vettoriale e sia E c V un sottospazio di V diverso da V e diverso dall'insieme vuoto. Provare che V-E e (V-E)U(0) non sono sottospazi di V.
un grazie a chi mi risponde

Allora. Se E è un sottospazio vettoriale è ovvio che è diverso dall'insieme vuoto visto che ogni sottospazio contiene almeno il vettore nullo.

Quindi, poiché $0 in E => 0 !in V-E$ perciò V-E non è un sottospazio vettoriale in quanto non contiene il vettore nullo.

L'altro fatto è un po' più delicato, infatti aggiungendo in modo insiemistico il vettore nullo non posso più argomentare nel modo suddetto.

Procediamo per assurdo, supponendo che $V-E cup {0}$ sia sottospazio vettoriale. Poiché $E !=0$ e $V-E != emptyset$ per le ipotesi, sia $x in E, x!=0, y in V-E, y!=0$ , discutiamo dove appartiene $x+y$. Se $x+y in E$ allora essendo E chiuso rispetto alla somma di suoi elementi sarebbe $-x + (x+y) = y in E$ contro il fatto che $y in V-E$ quindi $y!in E$. Assurdo.
Analogamente, sia $x+y in V-E cup {0}$. Se fosse $x+y=0$ allora l'assurdo lo si ha perché $x=-y in V-E$ contro il supposto $x in E$. Quindi resterebbe il caso $x+y in V-E$ ma anche questo è assurdo perché si avrebbe $x = x+y-y in V-E$.