Esercizio di algebra lineare
Buonasera ragazzi, vorrei una conferma della correttezza di tale esercizio, dato che non ci sono le soluzioni.
Esercizio: Indichiamo con M2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti
reali. Sia Ak = $ [ ( 2k-5 , -2 ),( 1-k , k+1 ) ] $
e poniamo $ S = {Ak | k ∈ Z} $. Osserviamo che l’insieme S non è un sottospazio
vettoriale di M2(R).
(a) Determinare per quale valore di k ∈ Z la matrice Ak non ha rango 2.
Risposta: Semplice, basta scrivere una qualsiasi combinazione lineare e trovare i valori di k per il quale la combinazione risulta = 0.
Io ottengo 3 e -1/2
(b) Determinare la dimensione e una base del piu piccolo sottospazio U di M2(R) che contiene S.
Risposta: L'insieme S non è un sottospazio vettoriale, poiché non contiene il vettore nullo.
(Si tratta inoltre di una "traslazione" di un sottospazio vettoriale, di una matrice costante)
Considero dunque il sottospazio generato dalle matrici $ [ ( -5 , -2 ),( 1 , 1 ) ] $ e $ [ ( 2 , 0 ),( -1 , 1 ) ] $
Dunque il più piccolo sottospazio (contenente S) ha dimensione due ed è quello generato da tutte le combinazioni lineari dei vettori scritti in precedenza.
(c) Sia V ⊂ M2(R) il sottospazio vettoriale formato da tutte le matrici simmetriche. Scrivere una base
di U ∩ V
Risposta: Questo punto non l'ho ancora svolto perché non so se ho fatto giusto il secondo punto.
Comunque per risolvere questo punto porrei a sistema la condizione b=c ( per le matrici simmetriche) e le equazioni cartesiane del sottospazio trovato nel punto precedente.
Mi potete dire per cortesia se il ragionamento è giusto, o se ho sbagliato qualcosa? Ed eventuali consigli, o procedure più veloci nel caso ci fossero.
Grazie in anticipo
Esercizio: Indichiamo con M2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti
reali. Sia Ak = $ [ ( 2k-5 , -2 ),( 1-k , k+1 ) ] $
e poniamo $ S = {Ak | k ∈ Z} $. Osserviamo che l’insieme S non è un sottospazio
vettoriale di M2(R).
(a) Determinare per quale valore di k ∈ Z la matrice Ak non ha rango 2.
Risposta: Semplice, basta scrivere una qualsiasi combinazione lineare e trovare i valori di k per il quale la combinazione risulta = 0.
Io ottengo 3 e -1/2
(b) Determinare la dimensione e una base del piu piccolo sottospazio U di M2(R) che contiene S.
Risposta: L'insieme S non è un sottospazio vettoriale, poiché non contiene il vettore nullo.
(Si tratta inoltre di una "traslazione" di un sottospazio vettoriale, di una matrice costante)
Considero dunque il sottospazio generato dalle matrici $ [ ( -5 , -2 ),( 1 , 1 ) ] $ e $ [ ( 2 , 0 ),( -1 , 1 ) ] $
Dunque il più piccolo sottospazio (contenente S) ha dimensione due ed è quello generato da tutte le combinazioni lineari dei vettori scritti in precedenza.
(c) Sia V ⊂ M2(R) il sottospazio vettoriale formato da tutte le matrici simmetriche. Scrivere una base
di U ∩ V
Risposta: Questo punto non l'ho ancora svolto perché non so se ho fatto giusto il secondo punto.
Comunque per risolvere questo punto porrei a sistema la condizione b=c ( per le matrici simmetriche) e le equazioni cartesiane del sottospazio trovato nel punto precedente.
Mi potete dire per cortesia se il ragionamento è giusto, o se ho sbagliato qualcosa? Ed eventuali consigli, o procedure più veloci nel caso ci fossero.
Grazie in anticipo
Risposte
Voglio provarci, fammi sapere se ti trovi 
)
Per il punto a) c'è un metodo sicuramente più veloce: usiamo il seguente fatto
"Un matrice quadrata ha rango massimo se e solo se ha determinante non nullo"
Dunque ti basta porre $det(A_k)=0$, cioè $2k^2-5k-3=0$ da cui $k=3$ e $k=-\frac{1}{2}$
Per il punto b): il più piccolo spazio vettoriale contenente $S$ è il sottospazio generato da $S$ che io indico con $$ (altre notazioni sono $span(S)$, $$, $L$), cioè l'insieme delle combinazioni lineari di elementi di $S$. Dunque
$={h((2k-5,-2),(1-k,k+1))=hk((2,0),(-1,1))+h((-5,-2),(1,1)) : h in RR}$
La dimensione di $S$ è il numero di elementi di $S$ lineamenti indipendenti: per visualizzarlo o risolvi il sistemino o utilizzi l'isomorfismo coordinato. Usiamo il secondo: detto $R$ il riferimento naturale (=canonico), si ha
$c_R((-5,-2),(1,1))=(-5,-2,1,1)$
$c_R((2,0),(-1,1))=(2,0,-1,1)$
Chiaramente si deduce che sono linearmente indipendenti, quindi $dim(U)=2$
Il sottospazio delle matrici simmetriche di $M_2(RR)$ ha dimensione $\frac{2(2+1)}{2}=3$. Una matrice simmetrica è del tipo
$A=((a,0),(b,c))$
Dunque $A=hA_k$ si ricava il sistema con equazioni
$a=2hk-5h$
$0=-2h$
$b=h-hk$
$c=hk+h$
Da cui $a=b=c=h=0$ e l'intersezione dovrebbe essere ridotta alla sola matrice nulla di $M_2(RR)$. Una base è dunque l'insieme vuoto.
)Per il punto a) c'è un metodo sicuramente più veloce: usiamo il seguente fatto
"Un matrice quadrata ha rango massimo se e solo se ha determinante non nullo"
Dunque ti basta porre $det(A_k)=0$, cioè $2k^2-5k-3=0$ da cui $k=3$ e $k=-\frac{1}{2}$
Per il punto b): il più piccolo spazio vettoriale contenente $S$ è il sottospazio generato da $S$ che io indico con $
$
La dimensione di $S$ è il numero di elementi di $S$ lineamenti indipendenti: per visualizzarlo o risolvi il sistemino o utilizzi l'isomorfismo coordinato. Usiamo il secondo: detto $R$ il riferimento naturale (=canonico), si ha
$c_R((-5,-2),(1,1))=(-5,-2,1,1)$
$c_R((2,0),(-1,1))=(2,0,-1,1)$
Chiaramente si deduce che sono linearmente indipendenti, quindi $dim(U)=2$
Il sottospazio delle matrici simmetriche di $M_2(RR)$ ha dimensione $\frac{2(2+1)}{2}=3$. Una matrice simmetrica è del tipo
$A=((a,0),(b,c))$
Dunque $A=hA_k$ si ricava il sistema con equazioni
$a=2hk-5h$
$0=-2h$
$b=h-hk$
$c=hk+h$
Da cui $a=b=c=h=0$ e l'intersezione dovrebbe essere ridotta alla sola matrice nulla di $M_2(RR)$. Una base è dunque l'insieme vuoto.
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