Esercizio d'esame - svolgimento
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame ORALE di matematica 1 e siccome allo scritto ho lasciato questo esercizio, all'orale il professore probabilmente me lo farà fare quindi avrei bisogno di sapere come si svolge.
L'esercizio è il seguente:
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
Determinare il piano $\alpha$ che contiene R ed parallelo alla retta S di equazione cartesiana: $\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Siccome sto preparando l'orale e sono impegnato a ripetere i teoremi e le dimostrazioni non potrò controllare continuamente il forum quindi vi chiedo se c'è qualcuno che può dirmi semplicemente anche solo il procedimento da seguire senza stare a fare i calcoli che poi farò io (postandoli x conferma qua sul forum) .
grazie!!
Sto preparando l'esame ORALE di matematica 1 e siccome allo scritto ho lasciato questo esercizio, all'orale il professore probabilmente me lo farà fare quindi avrei bisogno di sapere come si svolge.
L'esercizio è il seguente:
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
Determinare il piano $\alpha$ che contiene R ed parallelo alla retta S di equazione cartesiana: $\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Siccome sto preparando l'orale e sono impegnato a ripetere i teoremi e le dimostrazioni non potrò controllare continuamente il forum quindi vi chiedo se c'è qualcuno che può dirmi semplicemente anche solo il procedimento da seguire senza stare a fare i calcoli che poi farò io (postandoli x conferma qua sul forum) .
grazie!!
Risposte
Ciao.
Dunque ti direi che secondo me puoi procedere così: scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata; adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$. Infine, imponi che $\bar{s}$ sia parallelo al generico piano del fascio (e quindi imponi l'ortogonalità tra $\bar{s}$ e un vettore normale a un generico piano del fascio).
Hai capito che cosa intendo? Prova a pensarci, poi se hai dubbi o non sono stato chiaro posta pure che ne parliamo.
P.S. Ah, una precisazione.
E' uno degli assiomi di incidenza di Hilbert: per due punti una e una sola retta, quindi scriverei "la retta per $A$ e $B$".
So che possono sembrare pignolerie inutili, ma ti garantisco che non lo sono. La precisione di linguaggio si vede anche in queste cose.
Dunque ti direi che secondo me puoi procedere così: scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata; adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$. Infine, imponi che $\bar{s}$ sia parallelo al generico piano del fascio (e quindi imponi l'ortogonalità tra $\bar{s}$ e un vettore normale a un generico piano del fascio).
Hai capito che cosa intendo? Prova a pensarci, poi se hai dubbi o non sono stato chiaro posta pure che ne parliamo.
P.S. Ah, una precisazione.
"l0r3nzo":
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
E' uno degli assiomi di incidenza di Hilbert: per due punti una e una sola retta, quindi scriverei "la retta per $A$ e $B$".
So che possono sembrare pignolerie inutili, ma ti garantisco che non lo sono. La precisione di linguaggio si vede anche in queste cose.
grazie, finisco di ripetere il capitolo sulla continuità con le dimostrazioni e controllo ciò che mi hai detto. tra un paio di ore quindi posto i calcoli
merci!!!!
PS: è un errore di battitura, chiedo venia... nel compito è scritto "la retta"
merci!!!!
PS: è un errore di battitura, chiedo venia... nel compito è scritto "la retta"
"Paolo90":
Ciao.
Dunque ti direi che secondo me puoi procedere così: scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata; adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$. Infine, imponi che $\bar{s}$ sia parallelo al generico piano del fascio (e quindi imponi l'ortogonalità tra $\bar{s}$ e un vettore normale a un generico piano del fascio).
Hai capito che cosa intendo? Prova a pensarci, poi se hai dubbi o non sono stato chiaro posta pure che ne parliamo.
Ciao e ancora grazie per il tuo interessamento.
Dunque...
La retta passante per i punti $A$ e $B$ viene: $(x-1)/(0-1)=(y-1)/(1-1)=(z-2)/(1-2)$ quindi $x-z+1=0$ . A questo punto però non riesco a calcolare nè il fascio di piani generato dalla retta nè il vettore $\bar{s}$ parallelo ad $s$. So quali sono le condizioni di perpendicolarità e parallelismo tra rette solo che, sia negli appunti che nel libro non è menzionato un esempio di rette parallele in $R^3$... qualche consiglio?
$V_r(1,0,1)$
$r:{(y=1),(x-z+1=0):}$
Piano contenente $r$: $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Piano parallelo a $s->$ $(beta,alpha,-beta)*(1,1,2)=0$, dove $V_s=(1,1,2)$.
$r:{(y=1),(x-z+1=0):}$
Piano contenente $r$: $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Piano parallelo a $s->$ $(beta,alpha,-beta)*(1,1,2)=0$, dove $V_s=(1,1,2)$.
mmm... il vettore direttore di r mi torna, la retta r invece no. Y non dovrebbe esser y=0?
Scelgo come passaggio per la retta il punto $A(1,1,2)$ e $V_r(1,0,1)$. Quindi $r:{(x=1+lambda),(y=1+0lambda),(z=2+lambda):}$. Ricavo $lambda$ dalla prima equazione ottenendo $lambda=x-1$, e poi la sostituisco nella terza, ottenendo così $r:{(y=1),(x-z+1):}$.
Perché titorna $y=0$?
Perché titorna $y=0$?
sinceramente non capisco questo ragionamento. Perché il passaggio da A quando deve passare da A e B la retta?
"Paolo90":
Ciao.
Dunque ti direi che secondo me puoi procedere così: scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata; adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$. Infine, imponi che $\bar{s}$ sia parallelo al generico piano del fascio (e quindi imponi l'ortogonalità tra $\bar{s}$ e un vettore normale a un generico piano del fascio).
Riprendo questa risposta per fare una domanda più diretta che forse nel post di ieri è passata inosservata:
come faccio a trovare il fascio di piani generato dalla retta??
vediamo se andando punto per punto c'arrivo a capire il procedimento
"l0r3nzo":
[quote="Paolo90"]Ciao.
[...]
Riprendo questa risposta per fare una domanda più diretta che forse nel post di ieri è passata inosservata [/quote]
Buongiorno, risponde il diretto interessato.
Allora, vedo che hai un po' di confusione in testa. Precisamente, in tuo post precedente scrivi:
"l0r3nzo":
La retta passante per i punti $A$ e $B$ viene: $(x-1)/(0-1)=(y-1)/(1-1)=(z-2)/(1-2)$ quindi $x-z+1=0$
Ne sei sicuro? Quello che hai scritto è solo un piano, non è retta. Per dare una retta nello spazio servono due piani non paralleli.
Prova a pensare un po' a come fare, magari rivediti gli appunti delle lezioni o dai uno sguardo al libro; queste cose sono importanti, se non le sai bene rischi di confonderti quando studi gli argomenti successivi.
P.S. Una curiosità, se posso chiedere: come sei messo a algebra lineare? Sistemi, matrici, rango e queste cose qui le hai studiate?
"Paolo90":
Allora, vedo che hai un po' di confusione in testa. Precisamente, in tuo post precedente scrivi:
[quote="l0r3nzo"] La retta passante per i punti $A$ e $B$ viene: $(x-1)/(0-1)=(y-1)/(1-1)=(z-2)/(1-2)$ quindi $x-z+1=0$
Ne sei sicuro? Quello che hai scritto è solo un piano, non è retta. Per dare una retta nello spazio servono due piani non paralleli.
Prova a pensare un po' a come fare, magari rivediti gli appunti delle lezioni o dai uno sguardo al libro; queste cose sono importanti, se non le sai bene rischi di confonderti quando studi gli argomenti successivi.
[/quote]
forse dovevo scrivere: $\{(x - z +1 = 0),(y=0):}$ ???
non ho capito bene la domanda successiva.. cioè? quando due piani sono paralleli?
"Paolo90":
P.S. Una curiosità, se posso chiedere: come sei messo a algebra lineare? Sistemi, matrici, rango e queste cose qui le hai studiate?
Guarda, premesso che io faccio architettura e che "devo" dare questo esame in tutti i modi visto che è del primo anno ed io sono del 6, la parte del corso che mi riesce meglio è quella proprio delle matrici e sistemi lineari. Che poi ci siano lacune immense non ne dubito, anzi, ne sono certo, ma sul perchè potremmo stare qua a parlare fino a dopodomani...
"l0r3nzo":
forse dovevo scrivere: $\{(x - z +1 = 0),(y=0):}$ ???
Lorenzo, il punto è: da dove esce $y=0$? Perchè hai deciso di scrivere $y=0$?
Sicuramente questa posizione è errata. Se tu scrivi che la retta $r$ ha equazioni $\{(x - z +1 = 0),(y=0):}$ significa che su tale retta ci stanno tutti e soli i punti le cui coordinate [tex](x,y,z)[/tex] verificano entrambe le equazioni. Allora il punto $A=(1,1,2)$ può stare su tale retta? No, perchè la coordinata $y$ di A è 1 e quindi il punto A non soddisfa la seconda equazione. Hai capito questo?
Se non hai capito dillo tranquillamente, provo a rispiegartelo, ma è fondamentale che tu capisca questo.
Vediamo di ripartire: sai trovare le equazioni parametriche di una retta nello spazio? Ne hai mai sentito parlare?
Vedi se riesci a scrivere le equazioni parametriche della retta AB; se hai problemi, siamo qui.
"l0r3nzo":
Guarda, premesso che io faccio architettura e che "devo" dare questo esame in tutti i modi visto che è del primo anno ed io sono del 6, la parte del corso che mi riesce meglio è quella proprio delle matrici e sistemi lineari. Che poi ci siano lacune immense non ne dubito, anzi, ne sono certo, ma sul perchè potremmo stare qua a parlare fino a dopodomani...
Figo, architettura
Comunque vai tranquillo: se hai capito e interiorizzato un po' di algebra lineare queste cose qui ti risulteranno abbastanza semplici. A ben vedere, infatti, dietro tutto il ragionamento che stiamo facendo ci sono matrici e conti simili.
"Paolo90":
Lorenzo, il punto è: da dove esce $y=0$? Perchè hai deciso di scrivere $y=0$?
Sicuramente questa posizione è errata. Se tu scrivi che la retta $r$ ha equazioni $\{(x - z +1 = 0),(y=0):}$ significa che su tale retta ci stanno tutti e soli i punti le cui coordinate [tex](x,y,z)[/tex] verificano entrambe le equazioni. Allora il punto $A=(1,1,2)$ può stare su tale retta? No, perchè la coordinata $y$ di A è 1 e quindi il punto A non soddisfa la seconda equazione. Hai capito questo?
Se non hai capito dillo tranquillamente, provo a rispiegartelo, ma è fondamentale che tu capisca questo.
Vediamo di ripartire: sai trovare le equazioni parametriche di una retta nello spazio? Ne hai mai sentito parlare?
Vedi se riesci a scrivere le equazioni parametriche della retta AB; se hai problemi, siamo qui.
ho scritto che $r$ ha equazioni $\{(x - z +1 = 0),(y=0):}$ perché avevo applicato la formula della retta passante per due punti $(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)$. Evidentemente però è sbagliato ... dunque...
Il ragionamento che hai fatto l'ho capito.
Le equazioni di una retta nello spazio pensavo di si però se non posso usare quella formula (perchè errata), per trovare la retta passante per due punti, allora non so come fare.
"Paolo90":
Figo, architettura
Comunque vai tranquillo: se hai capito e interiorizzato un po' di algebra lineare queste cose qui ti risulteranno abbastanza semplici. A ben vedere, infatti, dietro tutto il ragionamento che stiamo facendo ci sono matrici e conti simili.
Si il mio corso di studi è bello (anche se è molto tosto), il problema è che la matematica ha troppo peso, soprattutto se viene lasciata (come accade spesso) indietro. questo però non accade perchè lo studente non studia o non gliene importa ma semplicemente perchè è un terno al lotto riuscire a passare lo scritto in quanto le funzioni proposte sono troppo complicate.
Io sono riuscito a passare lo scritto (anche grazie alle spiegazioni di questo forum) con 14, quindi quando andrò all'orale devo farlo praticamente perfetto per arrivare anche solo al 18...
"l0r3nzo":
per trovare la retta passante per due punti, allora non so come fare.
Hai i punti $A(1,1,2)$ e $B(0,1,1)$.
Devi calcolare il vettore direttore della retta, e lo trovi facendo $A-B$ (o $B-A$), quindi $V_r=(1,0,1)$. Dopodiché scegli il punto di passaggio (o $A$ o $B$, è uguale). Se scelgo $A$, la retta sarà $r:{(x=lambda+1),(y=1),(z=lambda+2):}$.
"Mirino06":
Se scelgo $A$, la retta sarà $r:{(x=lambda+1),(y=1),(z=lambda+2):}$.
mmm... scusa, però se io considero che per trovare, in forma parametrica (come hai scritto tu), la retta passante per due punti A e B la seguente formula:
$r:{(x= x0 + (x1-x0)t),(y= y0 + (y1-y0)t),(z= z0 + (z1-z0)t):}$
e se metto i due punti che ho: $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$
mi viene:
$r:{(x= 1 + (0-1)t),(y= 1 + (1-1)t),(z= 2 + (1-2)t):}$
ok? quindi svolgendo i calcoli elementari viene:
$r:{(x= 1 -t),(y= 1),(z= 2 -t):}$
a questo punto mi chiedo (considerando che il mio t è il $lambda$ scritto da te), come mai non viene la stessa espressione della retta r?
In forma cartesiana la retta sarebbe:
$r:{((x-1)/(-1)=(z-2)/(-1)),(y= 1):}$
ovvero
$r:{(x-z+1=0),(y= 1):}$
$r:{((x-1)/(-1)=(z-2)/(-1)),(y= 1):}$
ovvero
$r:{(x-z+1=0),(y= 1):}$
quindi, riprendendo questo suggerimento:
calcolo il fascio di piani generato dalla retta:
$y-1+k(x-z+1)=0$.
questo non riesco a capire come si calcolarlo...
"Paolo90":
.
scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata;
calcolo il fascio di piani generato dalla retta:
$y-1+k(x-z+1)=0$.
"Paolo90":
.
adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$.
questo non riesco a capire come si calcolarlo...
"l0r3nzo":
$r:{(x= 1 -t),(y= 1),(z= 2 -t):}$
a questo punto mi chiedo (considerando che il mio t è il $lambda$ scritto da te), come mai non viene la stessa espressione della retta r?
L'espressione della retta $r$, così come l'hai scritta te, è corretta. Io l'avevo scritta in questo modo $r:{(x=lambda+1),(y=1),(z=lambda+2):}$, ma sia la mia sia la tua, sono corrette, infatti i vettori direttori sono in proprozione. "Il tuo" vettore direttore è $(-1,0,-1)$, "il mio " è $(1,0,1)$.
Se poi, il piano deve essere parallelo alla retta $s$, ti torna che il vettore normale e il vettore direttore debbano essere tra loro ortogonali?
ok perfetto! mi hai chiarito molto le idee! a questo punto mi rimane da vedere se:
a) quella che ho scritto sopra è un'equazione corretta del fascio passante per la retta.
b) come fare a trovare il vettore s parallelo alla retta s...
a) quella che ho scritto sopra è un'equazione corretta del fascio passante per la retta.
b) come fare a trovare il vettore s parallelo alla retta s...
Chiedo scusa, ma non so se è corretta o no l'equazione del fascio che hai scritto tu.
Ti posso dire però come l'ho scritta io.
La retta $r$ ha questa equazione:
$r:{(y=1),(x-z+1=0):}$
Il piano contenente $r$ ha questa equazione: $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Dopodiché, come ti ho scritto nel post precedente, vettore normale e vettore direttore della retta $s$ devono essere ortogonali, quindi imponi il prodotto scalare uguale a zero tra
$(beta,alpha,-beta)*(1,1,2)=0$. Quindi hai che $beta-alpha-2beta=0$, quindi $alpha=-beta$. Se $beta=1 -> alpha=-1$. (N.B Potevi scegliere di porre anche $beta=100$, e quindi $alpha$ sarebbe stata $=-100$).Quindi sostituisci questi valori in questa equazione
$x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$, e quindi il piano cercato è $x-y-z+2=0$.
_$(1,1,2)$ è il vettore direttore della retta $s$. Ti torna come ho fatto a calcolarlo?
_Ti torna questa equazione? $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Ti posso dire però come l'ho scritta io.
La retta $r$ ha questa equazione:
$r:{(y=1),(x-z+1=0):}$
Il piano contenente $r$ ha questa equazione: $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Dopodiché, come ti ho scritto nel post precedente, vettore normale e vettore direttore della retta $s$ devono essere ortogonali, quindi imponi il prodotto scalare uguale a zero tra
$(beta,alpha,-beta)*(1,1,2)=0$. Quindi hai che $beta-alpha-2beta=0$, quindi $alpha=-beta$. Se $beta=1 -> alpha=-1$. (N.B Potevi scegliere di porre anche $beta=100$, e quindi $alpha$ sarebbe stata $=-100$).Quindi sostituisci questi valori in questa equazione
$x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$, e quindi il piano cercato è $x-y-z+2=0$.
_$(1,1,2)$ è il vettore direttore della retta $s$. Ti torna come ho fatto a calcolarlo?
_Ti torna questa equazione? $x(beta)+y(alpha)+z(-beta)+(beta-alpha)$.
Ciao!
guarda sinceramente non mi ci posso mettere ora a vedere se mi torna o meno il tuo ragionamento sia perché sono concentrato nella preparazione dell'orale, sia perché è un procedimento che non ho mai visto nei miei liberi quindi non vorrei confondere ancora di più le acque...
aspetto però una risposta, magari da paolo che forse usa il metodo del mio prof, riguardo la retta trovata ed il fascio di rette...
guarda sinceramente non mi ci posso mettere ora a vedere se mi torna o meno il tuo ragionamento sia perché sono concentrato nella preparazione dell'orale, sia perché è un procedimento che non ho mai visto nei miei liberi quindi non vorrei confondere ancora di più le acque...
aspetto però una risposta, magari da paolo che forse usa il metodo del mio prof, riguardo la retta trovata ed il fascio di rette...
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