Esercizio d'esame - svolgimento
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame ORALE di matematica 1 e siccome allo scritto ho lasciato questo esercizio, all'orale il professore probabilmente me lo farà fare quindi avrei bisogno di sapere come si svolge.
L'esercizio è il seguente:
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
Determinare il piano $\alpha$ che contiene R ed parallelo alla retta S di equazione cartesiana: $\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Siccome sto preparando l'orale e sono impegnato a ripetere i teoremi e le dimostrazioni non potrò controllare continuamente il forum quindi vi chiedo se c'è qualcuno che può dirmi semplicemente anche solo il procedimento da seguire senza stare a fare i calcoli che poi farò io (postandoli x conferma qua sul forum) .
grazie!!
Sto preparando l'esame ORALE di matematica 1 e siccome allo scritto ho lasciato questo esercizio, all'orale il professore probabilmente me lo farà fare quindi avrei bisogno di sapere come si svolge.
L'esercizio è il seguente:
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
Determinare il piano $\alpha$ che contiene R ed parallelo alla retta S di equazione cartesiana: $\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Siccome sto preparando l'orale e sono impegnato a ripetere i teoremi e le dimostrazioni non potrò controllare continuamente il forum quindi vi chiedo se c'è qualcuno che può dirmi semplicemente anche solo il procedimento da seguire senza stare a fare i calcoli che poi farò io (postandoli x conferma qua sul forum) .
grazie!!
Risposte
Io sono arrivato a questo punto:
In forma parametrica dovrebbe essere:
$r:{(x= 1 -t),(y= 1),(z= 2 -t):}$
In forma cartesiana la retta sarebbe:
$r:{(x-z+1=0),(y= 1):}$
$y-1+k(x-z+1)=0$.
e qui non riesco ad andare avanti...
"Paolo90":
scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$
In forma parametrica dovrebbe essere:
$r:{(x= 1 -t),(y= 1),(z= 2 -t):}$
In forma cartesiana la retta sarebbe:
$r:{(x-z+1=0),(y= 1):}$
"Paolo90":
trovi il fascio di piani da essa generata;
$y-1+k(x-z+1)=0$.
"Paolo90":
adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$.
e qui non riesco ad andare avanti...
Visto che il vettore deve essere parallelo alla retta $s$, ovvero parallelo a:
$\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Visto che è in versione cartesiana, per trovare il vettore direttore faccio il prodotto vettoriale di $s$ ovvero:
$|(I,J,K),(1,-1,0),(2,0,-1)|$
e trovo che il vettore direttore di $s$ è: $(1,1,-2)$.
A questo punto per trovare un vettore parallelo alla retta $s$ applico la formula del parallelismo tra rette, ovvero viene $(2,2,-4)$.
è corretto questo ragionamento?
$\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Visto che è in versione cartesiana, per trovare il vettore direttore faccio il prodotto vettoriale di $s$ ovvero:
$|(I,J,K),(1,-1,0),(2,0,-1)|$
e trovo che il vettore direttore di $s$ è: $(1,1,-2)$.
A questo punto per trovare un vettore parallelo alla retta $s$ applico la formula del parallelismo tra rette, ovvero viene $(2,2,-4)$.
è corretto questo ragionamento?
Perché trovi un vettore parallelo al vettore direttore di $s$?. Il vettore normale del piano (che è quello che vuoi trovare tu), deve essere ortogonale al vetore direttore della retta $s$.
"Mirino06":
Perché trovi un vettore parallelo al vettore direttore di $s$?. Il vettore normale del piano (che è quello che vuoi trovare tu), deve essere ortogonale al vetore direttore della retta $s$.
perchè stavo seguendo questo svolgimento:
"Paolo90":
Ciao.
Dunque ti direi che secondo me puoi procedere così: scritta l'equazione della retta per $A$ e $B$, trovi il fascio di piani da essa generata; adesso, calcolati un vettore $\bar{s}$ parallelo alla retta $s$. Infine, imponi che $\bar{s}$ sia parallelo al generico piano del fascio (e quindi imponi l'ortogonalità tra $\bar{s}$ e un vettore normale a un generico piano del fascio).
Ah, allora potevi anche prendere $(1,1,-2)$.
lo so, ma ho moltiplicato per 2 per non confondere le idee ed avere numeri diversi. 
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