Esercizio dal compito di geometria 1 (urgentissimo!!)

[celeste4]

Ecco un esercizio che ho lasciato in bianco stamattina all'esame...e credo che domani all'orale me lo farà sviscerare per bene..

i)sia $ F: V \to V $un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Se $F^k = 0 $, per un $k>=1$ (F è nihilpotente), dimostrare che F ha 0 come unico autovalore.
ii) Se $F^2 =F $ quali sono i possibili autovalori di F? Dimostrare che $ V=Ker(F) + Im (F) $ (è una somma diretta, non sapevo scriverlo) e interpretare in termini di autospazi.

Se riuscite a spiegarlo per bene, come a un ignorante totale (a volte ho bisogno di questo tipo di spiegazioni sennò senza sottotitoli non ci arrivo..) ve ne sarò immensamente grata..

[_Tipper]

Per il punto i) ho trovato una dimostrazione (di una riga) qui.

[motorhead]

"Tipper":Per il punto i) ho trovato una dimostrazione (di una riga) qui.

c'è di tutto. grazie, buon sito

[celeste4]

Dovendo ripassare tutto il programma di geometria non posso mettermi a leggere tutto il contenuto del sito..quindi se qualcuno ha voglia di sbizzarrsi con il punto ii) mi farebbe felice..

[miuemia]

considera il sottospazio vettoriale $V_+={x in V |f(x)=x}$ si ha che $V=V_+ o+ ker(f)$.
infatti $V_+ nn ker(f)={0}$ e inoltre $x=f(x)+(x-f(x))$ dove $f(x) in V_+$ e $x-f(x) in ker(f)$.
allora prendi una base di $V_+$ e una del $ker$ e hai la tesi. quindi in particolare questo implica che $f$ è diagonalizzabile cha ha come solo autovalori $0$ e $1$.
ciao ciao