Esercizio costruire matrice diagonalizzabile

[Vash437]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una conferma sullo svolgimento di questo esercizio :

Costruire una matrice 3x3 diagonalizzabile che ha per autovalori $1, -1, 2$ e autovettori corrispondenti $(1,1,0),(0,1,0),(0,1,t)$

io ho quindi moltiplicato gli autovalori per i rispettivi autovettori
$1*(1,1,0)$
$-1*(0,1,0)$
$2*(0,1,t)$

da cui ho ricavato la matrice $((1,1,0),(0,-1,0),(0,2,2t))$ che risulta diagonalizzabile

è giusto o si fa in un altro modo?
vi ringrazio

[Sk_Anonymous]

La matrice che hai indicato ha come autovalori 1,-1,2t che non coincidono con quelli dati per ogni valore di t ( tranne che per t=1). Io direi di procedere nel modo classico e precisamente così.
Poniamo :
$(x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,0)+c(0,1,t)$
Con qualche calcolo si trova che :
$a=x, b= -x+y-z/t ,c=z/t$
E quindi abbiamo che :
$(x,y,z)=x(1,1,0)+ (-x+y-z/t)(0,1,0)+z/t(0,1,t)$
Passando alle immagini risulta :
$f(x,y,z)=x(1,1,0)+(-x+y-z/t)(0,-1,0)+z/t(0,2,2t)$
ovvero ;
$f(x,y,z)=(x,2x-y+3/tz,2z)$
Pertanto la matrice M associata ad f è:
$M=((1,0,0),(2,-1,3/t),(0,0,2))$

[Vash437]

Ah ok, quindi vado a cercarmi l'omomorfismo dove le basi del dominio sono gli autovettori e le immagini sono ottenute moltiplicandoli per i rispettivi autovalori..ti ringrazio moltissimo