Esercizio coomologia e omologia
Ciao a tutti non riesco a capire come risolvere questo esercizio, ma prima di tutto come rappresentarlo graficamente per averne un'idea più chiara:
Siano U e V omeomorfi a due dischi tali che U $nn$ V ha 3 componenti connesse
Determinare $H^1 (U uu V)$
Siano U e V omeomorfi a due dischi tali che U $nn$ V ha 3 componenti connesse
Determinare $H^1 (U uu V)$
Risposte
Prova a utilizzare la sequenza esatta lunga di Mayer-Vietoris!
ho provato ma non riesco a capire come impostare $H_0(U uu V)$ perchè non riesco a capire come considerare l'immagine.
Se avessi che $H_0(U uu V)$ è uguale a $R^2$ non mi viene il calcolo perchè dovrei necessariamente avere che $H_0(U) = H_0 (V) = 2$ ma essendo omeomorfi ad un disco dovrei avere $H_0 (U) = 1$ per cui non mi ritrovo nella relazione
$H_0(U nn V)= H_0(U) + H_0(V) - H_0 (U uu V)$
Se avessi che $H_0(U uu V)$ è uguale a $R^2$ non mi viene il calcolo perchè dovrei necessariamente avere che $H_0(U) = H_0 (V) = 2$ ma essendo omeomorfi ad un disco dovrei avere $H_0 (U) = 1$ per cui non mi ritrovo nella relazione
$H_0(U nn V)= H_0(U) + H_0(V) - H_0 (U uu V)$
La relazione che hai scritto è errata, non puoi sommare gruppi abeliani; forse intendi i loro ranghi?
In ogni caso dato che $U$ e $V$ sono connessi e la loro intersezione e non vuota segue che anche la loro unione è connessa e quindi \(|H_0(U\cup V)| = 1\). Dovresti avere tutto per concludere con MV
In ogni caso dato che $U$ e $V$ sono connessi e la loro intersezione e non vuota segue che anche la loro unione è connessa e quindi \(|H_0(U\cup V)| = 1\). Dovresti avere tutto per concludere con MV
ma quindi $H_0 (U) = H_0(V) $ = 2 ?
Continui a trattare i gruppi $H_p$ in modo errato. Come può essere un gruppo uguale a 2?
Devi lavorare con i ranghi, puoi scrivere \(\mathrm{rank} H_pX\) o più semplicemente \(|H_pX|\).
A prescindere da ciò. $U$ e $V$ sono entrambi omeomorfi ad un disco, $H_0U \cong H_0V \cong ?$ e $H_1U \cong H_1V \cong ?$
Vai avanti tu
Devi lavorare con i ranghi, puoi scrivere \(\mathrm{rank} H_pX\) o più semplicemente \(|H_pX|\).
A prescindere da ciò. $U$ e $V$ sono entrambi omeomorfi ad un disco, $H_0U \cong H_0V \cong ?$ e $H_1U \cong H_1V \cong ?$
Vai avanti tu
mi perdo proprio in questo passaggio:
Poichè sto considerando i dischi mi verrebbe da dire $H_1U \cong 0$ $H_1V \cong 0 $ poichè il complementare del disco è 0+1 connesso
Mentre mi verrebbe da dire
$H_0U \cong \ZZ $ e $H_0V \cong \ZZ$ ma in questo modo non otterrei la relazione cercata perchè dovrei avere
$|H_0U \nn V|= |H_0U| + |H_0V|-|H_0U \uu V| $
e quindi avrei 3 = 1 +1 -1
perciò direi che $H_0U \cong \ZZ ^2 $ e $H_0V \cong \ZZ^2$ è corretto?
(in questo caso non posso applicare il teorema della curva di Jordan perchè non sto considerando la circonferenza ma sto considerando tutto il disco giusto?)
Poichè sto considerando i dischi mi verrebbe da dire $H_1U \cong 0$ $H_1V \cong 0 $ poichè il complementare del disco è 0+1 connesso
Mentre mi verrebbe da dire
$H_0U \cong \ZZ $ e $H_0V \cong \ZZ$ ma in questo modo non otterrei la relazione cercata perchè dovrei avere
$|H_0U \nn V|= |H_0U| + |H_0V|-|H_0U \uu V| $
e quindi avrei 3 = 1 +1 -1
perciò direi che $H_0U \cong \ZZ ^2 $ e $H_0V \cong \ZZ^2$ è corretto?
(in questo caso non posso applicare il teorema della curva di Jordan perchè non sto considerando la circonferenza ma sto considerando tutto il disco giusto?)
Quella relazione che scrivi non vale sempre. Può valere in condizioni particolari, ma non in generale!
Poi tu devi determinare $H_1(U \cup V)$, perché non scrivi la sequenza di MV e poi vedi che hai?
\[0 \to H_1(U \cap V) \to H_1(U) \oplus H_1( V) \to H_1(U \cup V) \to \\ \to H_0(U \cap V) \to H_0(U) \oplus H_0(V) \to H_0(U \cup V) \to 0\]
Andando a sostituire:
\[0 \to H_1(U \cap V) \to 0 \to H_1(U \cup V) \to \\ \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0\]
Il fatto che $U \cup V$ abbia una componente connessa deriva da quanto ti ho detto nel primo messaggio di questa discussione.
La sequenza prima dello zero ce la possiamo dimenticare. Quindi:
\[0 \to H_1(U \cup V) \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0\]
Con la somma alternata dei ranghi ottieni:
\[|H_1(U \cup V)| = 3-(1+1)+1 = 2\]
Che è in accordo con l'idea intuitiva che l'unione ha 2 buchi:
Ti trovi?
Ora prova anche l'altro esercizio senza usare quella relazione. Poi magari discutiamo di quando vale e quando no.
EDIT: La discussione prosegue in parallelo su questo thread: viewtopic.php?f=37&t=163831
Poi tu devi determinare $H_1(U \cup V)$, perché non scrivi la sequenza di MV e poi vedi che hai?
\[0 \to H_1(U \cap V) \to H_1(U) \oplus H_1( V) \to H_1(U \cup V) \to \\ \to H_0(U \cap V) \to H_0(U) \oplus H_0(V) \to H_0(U \cup V) \to 0\]
Andando a sostituire:
\[0 \to H_1(U \cap V) \to 0 \to H_1(U \cup V) \to \\ \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0\]
Il fatto che $U \cup V$ abbia una componente connessa deriva da quanto ti ho detto nel primo messaggio di questa discussione.
La sequenza prima dello zero ce la possiamo dimenticare. Quindi:
\[0 \to H_1(U \cup V) \to \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0\]
Con la somma alternata dei ranghi ottieni:
\[|H_1(U \cup V)| = 3-(1+1)+1 = 2\]
Che è in accordo con l'idea intuitiva che l'unione ha 2 buchi:
Ti trovi?
Ora prova anche l'altro esercizio senza usare quella relazione. Poi magari discutiamo di quando vale e quando no.
EDIT: La discussione prosegue in parallelo su questo thread: viewtopic.php?f=37&t=163831
ok adesso verifico subito.
Ma quindi come regola generale mi puoi confermare che:
- se considero un disco $H_0 (U)\ cong \ZZ$ e $H_1(U) \cong 0$ perchè è 0 +1 connesso (cambia se considero un disco chiuso o aperto?)
- se considero una circonferenza $H_0 (U)\ cong \ZZ $ e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè è 1+1 connesso
- se considero $ RR ^2 $ \ circonferenza $H_0 (U)\ cong \ZZ^2$ (per th curva di jordan) e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè ho una curva connessa
- se considero $ RR ^2 $ \ disco $H_0 (U)\ cong \ZZ^$ ho solo la componente connessa illimitata e $H_1(U) \cong \ZZ$ (cambia disco chiuso disco aperto?)
- se considero un cerchio ho dunque $ S_1 $ per cui $H_0 (U)\ cong \ZZ$ e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè è 1+1 connesso giusto ?
Ma quindi come regola generale mi puoi confermare che:
- se considero un disco $H_0 (U)\ cong \ZZ$ e $H_1(U) \cong 0$ perchè è 0 +1 connesso (cambia se considero un disco chiuso o aperto?)
- se considero una circonferenza $H_0 (U)\ cong \ZZ $ e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè è 1+1 connesso
- se considero $ RR ^2 $ \ circonferenza $H_0 (U)\ cong \ZZ^2$ (per th curva di jordan) e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè ho una curva connessa
- se considero $ RR ^2 $ \ disco $H_0 (U)\ cong \ZZ^$ ho solo la componente connessa illimitata e $H_1(U) \cong \ZZ$ (cambia disco chiuso disco aperto?)
- se considero un cerchio ho dunque $ S_1 $ per cui $H_0 (U)\ cong \ZZ$ e $H_1(U) \cong \ZZ$ perchè è 1+1 connesso giusto ?
Devi essere più preciso quando esponi. Una cosa è un insieme, un'altra il suo complementare. Se un insieme è aperto il complementare è chiuso, e viceversa.
I gruppi $H_0$ e $H_1$ li sappiamo calcolare in genere per aperti del piano e non per i chiusi.
Un insieme aperto $U \subset RR^2$ è detto $(m+1)$-connesso quando il complementare si può scrivere come unione disgiunta di $m$ compatti (chiusi e limitati) e una componente illimitata (necessariamente chiusa dato che è complementare di un aperto).
Occhio quindi a non confondere l'insieme $U$ con il suo complementare.
Detto ciò:
Sì.
Qui devi deciderti, o l'una o l'altra.
Ovviamente la seconda è corretta e la prima è errata.
Il risultato è giusto ma quella frase mi spaventa.
Il disco aperto $D$ è connesso (e limitato) quindi $ H_0 (U)\ cong \ZZ $. Il suo complementare ha solo una componente illimitata quindi $D$ è $(0+1)$-connesso da cui $ H_1(U) \cong \ZZ $.
Ancora no! Stesso problema di prima. È corretto se poni $U = RR^2 \setminus S^1$, ovvero se ragioni sul complementare.
PS: Esame di Paoletti?
I gruppi $H_0$ e $H_1$ li sappiamo calcolare in genere per aperti del piano e non per i chiusi.
Un insieme aperto $U \subset RR^2$ è detto $(m+1)$-connesso quando il complementare si può scrivere come unione disgiunta di $m$ compatti (chiusi e limitati) e una componente illimitata (necessariamente chiusa dato che è complementare di un aperto).
Occhio quindi a non confondere l'insieme $U$ con il suo complementare.
Detto ciò:
"pippo1468":
- se considero un disco $ H_0 (U)\ cong \ZZ $ e $ H_1(U) \cong 0 $ perchè è $(0 +1)$-connesso
Sì.
"pippo1468":
- se considero una circonferenza $ H_0 (U)\ cong \ZZ ^2 $ (per th curva di Jordan) e $ H_1(U) \cong \ZZ $ perchè è 1+1 connesso
- se considero $ RR ^2 $ \ circonferenza $ H_0 (U)\ cong \ZZ^2 $ (per th curva di jordan) e $ H_1(U) \cong \ZZ $ perchè ho una curva connessa
Qui devi deciderti, o l'una o l'altra.
Ovviamente la seconda è corretta e la prima è errata.
"pippo1468":
- se considero $ RR ^2 $ \ disco $ H_0 (U)\ cong \ZZ $ ho solo la componente connessa illimitata e $ H_1(U) \cong \ZZ $
Il risultato è giusto ma quella frase mi spaventa.
Il disco aperto $D$ è connesso (e limitato) quindi $ H_0 (U)\ cong \ZZ $. Il suo complementare ha solo una componente illimitata quindi $D$ è $(0+1)$-connesso da cui $ H_1(U) \cong \ZZ $.
"pippo1468":
- se considero un cerchio ho dunque $ S_1 $ per cui $ H_0 (U)\ cong \ZZ ^2 $ (per th curva di Jordan) e $ H_1(U) \cong \ZZ $ perchè è 1+1 connesso giusto ?
Ancora no! Stesso problema di prima. È corretto se poni $U = RR^2 \setminus S^1$, ovvero se ragioni sul complementare.
PS: Esame di Paoletti?
Si avevo scritto male infatti ho corretto appena me ne sono accorto 10 minuti fa.
Esatto esame di paoletti!
Grazie mille mi hai illuminato su un sacco di cose!
Esatto esame di paoletti!
Grazie mille mi hai illuminato su un sacco di cose!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo