Esercizio continuità topologica
Ciao a tutti,
mi sono cimentato nel seguente esercizio, preso dal Manetti- Topologia (Ex. 3.19 pg. 51).
L'ho pensata così, anche se non ne sono certo.
Sia $f$ continua: allora per ogni aperto $U \subset \tau_e$, $U=(a,b)$, si ha $f^{-1}(U) \subset \tau_e$. Ho pensato di scrivere la controimmagine di $U$ tramite $f$ (che per ipotesi è aperta) come intersezione finita di insiemi $M(k)$ e $m(k)$.
$f^{-1}(U)= M(f^{-1}(a)) \cap m(f^{-1}(b)) \subset \tau_e$, per cui devono essere entrambi aperti.
Viceversa, siano $m(k), M(K)$ aperti per ogni $k$.
Sia $U=(a,b)$ aperto nella topologia euclidea e vado a considerarne la controimmagine $f^{-1}(U)={x \in RR: f(x) \in U}$. Sia $k \in (a,b)$, allora $f^{-1}(U)={x \in RR: f(x)>k \cup f(x)
Grazie a chiunque voglia darmi una mano o correggermi
mi sono cimentato nel seguente esercizio, preso dal Manetti- Topologia (Ex. 3.19 pg. 51).
Sia data una funzione $f: RR \rightarrow RR$; per ogni $k \in RR$ denotiamo $M(k)={x \in RR: f(x)>k}$ e $m(k)={x \in RR: f(x)>k}$.
Mostrare che $f$ è continua se e solo se $M(k),m(k)$ sono aperti per ogni $k$.
L'ho pensata così, anche se non ne sono certo.
Sia $f$ continua: allora per ogni aperto $U \subset \tau_e$, $U=(a,b)$, si ha $f^{-1}(U) \subset \tau_e$. Ho pensato di scrivere la controimmagine di $U$ tramite $f$ (che per ipotesi è aperta) come intersezione finita di insiemi $M(k)$ e $m(k)$.
$f^{-1}(U)= M(f^{-1}(a)) \cap m(f^{-1}(b)) \subset \tau_e$, per cui devono essere entrambi aperti.
Viceversa, siano $m(k), M(K)$ aperti per ogni $k$.
Sia $U=(a,b)$ aperto nella topologia euclidea e vado a considerarne la controimmagine $f^{-1}(U)={x \in RR: f(x) \in U}$. Sia $k \in (a,b)$, allora $f^{-1}(U)={x \in RR: f(x)>k \cup f(x)
Grazie a chiunque voglia darmi una mano o correggermi
Risposte
Ciao,
non ha sempre senso scrivere $M(f^{-1}(a))$ perché $f^{-1}(a)$ denota un insieme che può essere anche vuoto.
L'implicazione $f$ continua implica $M(k), m(k)$ aperti è semplice, la continuità ti assicura che la controimmagine di aperti è aperta, come puoi pensare $M(k), m(k)$ come controimmagine di $f$?
In generale non è detto che se $A = B \nn C$ è aperto allora anche $B$ e $C$ lo sono.
Il viceversa è quasi ok, nel senso che secondo me basta scegliere $k = a$, $h = b$ e poi fare l'intersezione $M(h) \nn m(k)$ no?
non ha sempre senso scrivere $M(f^{-1}(a))$ perché $f^{-1}(a)$ denota un insieme che può essere anche vuoto.
L'implicazione $f$ continua implica $M(k), m(k)$ aperti è semplice, la continuità ti assicura che la controimmagine di aperti è aperta, come puoi pensare $M(k), m(k)$ come controimmagine di $f$?
In generale non è detto che se $A = B \nn C$ è aperto allora anche $B$ e $C$ lo sono.
Il viceversa è quasi ok, nel senso che secondo me basta scegliere $k = a$, $h = b$ e poi fare l'intersezione $M(h) \nn m(k)$ no?
Ciao @Shocker, grazie della risposta 
Oh okay, sinceramente non mi era venuto però guardandolo ora mi pare perfect.
Qui faccio fatica a a seguirti: in che senso $M(k)$ come controimmagine di $f$? Intendi prendere un aperto $U(a,b)$ e "dividerlo" tra $(a,k)$ e $(k,b)$?
"Shocker":
Il viceversa è quasi ok, nel senso che secondo me basta scegliere $k = a$, $h = b$ e poi fare l'intersezione $M(h) \nn m(k)$ no?
Oh okay, sinceramente non mi era venuto però guardandolo ora mi pare perfect.
"Shocker":
L'implicazione $f$ continua implica $M(k),m(k)$ aperti è semplice, la continuità ti assicura che la controimmagine di aperti è aperta, come puoi pensare M(k),m(k) come controimmagine di f?
In generale non è detto che se A=B∩C è aperto allora anche B e C lo sono.
Qui faccio fatica a a seguirti: in che senso $M(k)$ come controimmagine di $f$? Intendi prendere un aperto $U(a,b)$ e "dividerlo" tra $(a,k)$ e $(k,b)$?
Ciao ,
Intendo trovare un aperto $U$ non necessariamente superiormente limitato tale che $M(k) = f^-1(U)$.
,"feddy":
Qui faccio fatica a a seguirti: in che senso $M(k)$ come controimmagine di $f$? Intendi prendere un aperto $U(a,b)$ e "dividerlo" tra $(a,k)$ e $(k,b)$?
Intendo trovare un aperto $U$ non necessariamente superiormente limitato tale che $M(k) = f^-1(U)$.
Per esempio $U=(k,+\infty)$?
Esatto
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo