Esercizio connessione
Salve a tutti.
Ho questo dubbio: So che l'unione $r\cup s$ di due rette (distinte) nello spazio $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) non è omeomorfa ad una sola retta. Questo in generale. Un argomento di connessione (per assurdo) chiarisce ogni dubbio.
Il problema è che io ho pensato che:
nel caso $r\cap s=\emptyset$ posso considerare la traslazione (eventualmente composta con una rotazione), che è continua, invertibile e con inversa continua, e manda una retta nell'altra.
nel caso $r\cap s \ne \emptyset$ posso considerare la rotazione per l'intersezione del piano a cui le due rette appartengono. Portando una retta nell'altra, l'applicazione mi risulterebbe continua, invertibile e con inversa continua.
E' chiaro che la mia deduzione (che entrambe le inverse, nei due casi, siano continue) è sbagliata. Ma perchè? Non sto riuscendo a convincermene intuitivamente!
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Ho questo dubbio: So che l'unione $r\cup s$ di due rette (distinte) nello spazio $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) non è omeomorfa ad una sola retta. Questo in generale. Un argomento di connessione (per assurdo) chiarisce ogni dubbio.
Il problema è che io ho pensato che:
nel caso $r\cap s=\emptyset$ posso considerare la traslazione (eventualmente composta con una rotazione), che è continua, invertibile e con inversa continua, e manda una retta nell'altra.
nel caso $r\cap s \ne \emptyset$ posso considerare la rotazione per l'intersezione del piano a cui le due rette appartengono. Portando una retta nell'altra, l'applicazione mi risulterebbe continua, invertibile e con inversa continua.
E' chiaro che la mia deduzione (che entrambe le inverse, nei due casi, siano continue) è sbagliata. Ma perchè? Non sto riuscendo a convincermene intuitivamente!
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Se ho capito bene quello che stai facendo, l'errore è facile da trovare:
prendiamo la rotazione: cosa succede se ruoti due rette a intersezione non nulla attorno al punto di intersezione? Ottieni altre due rette ad intersezione non nulla ruotate.
Quello che scrivi tu, portarne una nell'altra, non c'entra nulla: stai dimostrando che una retta è omeomorfa ad un'altra! Le devi ruotare o traslare entrambe, e questo le lascia invariate (le rototraslazioni sono isometrie).
prendiamo la rotazione: cosa succede se ruoti due rette a intersezione non nulla attorno al punto di intersezione? Ottieni altre due rette ad intersezione non nulla ruotate.
Quello che scrivi tu, portarne una nell'altra, non c'entra nulla: stai dimostrando che una retta è omeomorfa ad un'altra! Le devi ruotare o traslare entrambe, e questo le lascia invariate (le rototraslazioni sono isometrie).
Credo di aver capito cosa intendi.
Ma allora io che stavo facendo così? una retrazione dello spazio fra le due rette?... Perchè se è così allora si che torna tutto, perchè le retrazioni (non banali), se non ho capito male, non essendo iniettive, non sono invertibili, per quanto continue.
Oltretutto non può essere nemmeno una retrazione ora che ci penso. Altrimenti lo spazio fra le rette dovrebbe "scomparire" nel nulla, giusto?
Quindi non dovrebbe esistere una funzione continua che faccia quello che pretendevo che facesse prima... a parte una proiezione al quoziente che identifica le due rette.
Ora che ci penso... se prendessi $X$ il quoziente dello spazio sull'unione delle due rette. $Y$ il quoziente dello spazio su una sola retta. Il fatto che $X$ ed $Y$ non siano omeomorfi, mi dice qualcosa? (Credo che $X$ sia un cono unito ad un iperpiano tangente od un cilindro unito ad un iperpiano tangente. Y mi sembra un $\mathbb{R}^n$...)
Scusate il flusso di coscienza
Ma allora io che stavo facendo così? una retrazione dello spazio fra le due rette?... Perchè se è così allora si che torna tutto, perchè le retrazioni (non banali), se non ho capito male, non essendo iniettive, non sono invertibili, per quanto continue.
Oltretutto non può essere nemmeno una retrazione ora che ci penso. Altrimenti lo spazio fra le rette dovrebbe "scomparire" nel nulla, giusto?
Quindi non dovrebbe esistere una funzione continua che faccia quello che pretendevo che facesse prima... a parte una proiezione al quoziente che identifica le due rette.
Ora che ci penso... se prendessi $X$ il quoziente dello spazio sull'unione delle due rette. $Y$ il quoziente dello spazio su una sola retta. Il fatto che $X$ ed $Y$ non siano omeomorfi, mi dice qualcosa? (Credo che $X$ sia un cono unito ad un iperpiano tangente od un cilindro unito ad un iperpiano tangente. Y mi sembra un $\mathbb{R}^n$...)
Scusate il flusso di coscienza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo