Esercizio coniche
Determina l'equazione del cono con vertice $V=(0,0,2)$ e passante per la circonferenza di equazioni ${ ( x^2+y^2=1 ),( z=0 ):}$.
Io ho pensato di trovare l'equazione di una sfera con centro in V e passante per un generico punto della circonferenza e metterla a sistema con l'equazione del piano passante per 3 punti che ricavo dalla circonferenza. La soluzione dell'esercizio però è molto più sbrigativa e imposta un sistema del tipo ${ ( a^2+b^2-1=0 ),( x=ta),( y=tb ),( z=2-2t-tc ),( c=0 ):}$ con (a,b,c) punto generico della circonferenza senza spiegarne il senso...
Io ho pensato di trovare l'equazione di una sfera con centro in V e passante per un generico punto della circonferenza e metterla a sistema con l'equazione del piano passante per 3 punti che ricavo dalla circonferenza. La soluzione dell'esercizio però è molto più sbrigativa e imposta un sistema del tipo ${ ( a^2+b^2-1=0 ),( x=ta),( y=tb ),( z=2-2t-tc ),( c=0 ):}$ con (a,b,c) punto generico della circonferenza senza spiegarne il senso...
Risposte
Forse per cono intendi la superficie conica ( completa) di vertice V ed avente per direttrice la circonferenza assegnata.
Se è così, la superficie in questione è l'insieme delle rette che uniscono il vertice V con i punti della circonferenza. (Questo spiega il procedimento del testo). Personalmente seguirò una soluzione equivalente sia pure diversa nei calcoli.
Il punto generico P della circonferenza si può mettere nella forma $P(\cost,\sint,0)$ e quindi la retta che unisce P
con V ha equazioni:
$\frac{x-0}{cost-0}=\frac{y-0}{sint-0}=\frac{z-2}{0-2}$
Indicando con k il comune valore dei rapporti indicati si ha:
$$\begin{cases}x=kcost\\y=ksint\\z=2-2k\end{cases}$$
Quadrando e sommando le prime due equazioni del sistema e ricavando $k$ dalla terza equazioni si ha:
$$\begin{cases}x^2+y^2=k^2\\k=1-\frac{1}{2}z\end{cases}$$
Eliminando $k$ si ha infine l'equazione della superficie conica:
$x^2+y^2=(1-\frac{1}{2}z)^2$
Se è così, la superficie in questione è l'insieme delle rette che uniscono il vertice V con i punti della circonferenza. (Questo spiega il procedimento del testo). Personalmente seguirò una soluzione equivalente sia pure diversa nei calcoli.
Il punto generico P della circonferenza si può mettere nella forma $P(\cost,\sint,0)$ e quindi la retta che unisce P
con V ha equazioni:
$\frac{x-0}{cost-0}=\frac{y-0}{sint-0}=\frac{z-2}{0-2}$
Indicando con k il comune valore dei rapporti indicati si ha:
$$\begin{cases}x=kcost\\y=ksint\\z=2-2k\end{cases}$$
Quadrando e sommando le prime due equazioni del sistema e ricavando $k$ dalla terza equazioni si ha:
$$\begin{cases}x^2+y^2=k^2\\k=1-\frac{1}{2}z\end{cases}$$
Eliminando $k$ si ha infine l'equazione della superficie conica:
$x^2+y^2=(1-\frac{1}{2}z)^2$
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