Esercizio con una superficie che dovrebbe (?) essere regolare
cito testualmente:
Sia S la superficie determinata dalla parametrizzazione:
$\{(x=u^2+v^2),(y=u^2-v^2),(z=2 u v):}$
dove $u^2+v^2<=1$
Dimostrare che S è una superficie regolare, scriverla in forma cartesiana, e calcolarne l'area.
ricavo la jacobiana della superficie:
$((2u,2v),(2u,-2v),(2v,2u))$
calcolo i determinanti dei 3 minori di ordine 2:
$det M_1= -4 uv-4 u v$
$det M_2= 4 u^2+4 v^2$
$det M_3=4 u^2 - 4 v^2$
Possono essere tutti e 3 nulli solamente in $(u,v)=(0,0)$, quindi almeno in quel punto viene a mancare la regolarità, ma quel punto è parte del dominio della superficie, il quale è costituito dal cerchio centrato nell'origine di raggio 1.
la consegna "dimostrare che S è una superficie regolare" mi porta a pensare che io abbia sbagliato qualcosa, come posso dimostrare una cosa che non è vera? non potendo essere regolare in un punto del dominio, allora la superficie non è regolare
Sia S la superficie determinata dalla parametrizzazione:
$\{(x=u^2+v^2),(y=u^2-v^2),(z=2 u v):}$
dove $u^2+v^2<=1$
Dimostrare che S è una superficie regolare, scriverla in forma cartesiana, e calcolarne l'area.
ricavo la jacobiana della superficie:
$((2u,2v),(2u,-2v),(2v,2u))$
calcolo i determinanti dei 3 minori di ordine 2:
$det M_1= -4 uv-4 u v$
$det M_2= 4 u^2+4 v^2$
$det M_3=4 u^2 - 4 v^2$
Possono essere tutti e 3 nulli solamente in $(u,v)=(0,0)$, quindi almeno in quel punto viene a mancare la regolarità, ma quel punto è parte del dominio della superficie, il quale è costituito dal cerchio centrato nell'origine di raggio 1.
la consegna "dimostrare che S è una superficie regolare" mi porta a pensare che io abbia sbagliato qualcosa, come posso dimostrare una cosa che non è vera? non potendo essere regolare in un punto del dominio, allora la superficie non è regolare
Risposte
"qwertyce":
calcolo i determinanti dei 3 minori di ordine 2:
$det M_1= -4 uv-4 u v$
$det M_2= 4 u^2+4 v^2$
$det M_3=4 u^2 - 4 v^2$
Possono essere tutti e 3 nulli solamente in $(u,v)=(0,0)$, quindi almeno in quel punto viene a mancare la regolarità, ma quel punto è parte del dominio della superficie, il quale è costituito dal cerchio centrato nell'origine di raggio 1.
La somma dei quadrati dei minori deve essere diversa da zero.
Ma la sostanza non cambia. L'origine appartiene al dominio (che stranamente è chiuso, bah) e azzera il tutto.
Se non ho sbagliato qualcosa, la curva è $x^2-y^2-z^2=0$ (chiedo conferma).
Se è così allora è questa:
ed è evidentemente discontinua in (0,0,0)
Più che discontinua non è una varietà in nessun intorno di $0$ (se togli un punto a un aperto di $RR^2$ non lo sconnetti; se togli la singolarità all'introrno dell'origine nel cono, invece sì); tuttavia ogni falda è una varietà topologica $C^0$.
"killing_buddha":
Più che discontinua non è una varietà in nessun intorno di $0$ (se togli un punto a un aperto di $RR^2$ non lo sconnetti; se togli la singolarità all'introrno dell'origine nel cono, invece sì); tuttavia ogni falda è una varietà topologica $C^0$.
Si, intuisco cosa dici.
Prob. avrei dovuto dire che non c'è un piano tangente perchè è connessa in (0,0,0).
Comunque ho ricontrollato e mi pare tutto giusto. L'area totale dei 2 coni di raggio 1 e altezza 1 è pari a $(2pi)/3$.
"Bokonon":
La somma dei quadrati dei minori deve essere diversa da zero.
Ma la sostanza non cambia. L'origine appartiene al dominio (che stranamente è chiuso, bah) e azzera il tutto.
Se non ho sbagliato qualcosa, la curva è $x^2-y^2-z^2=0$ (chiedo conferma).
ed è evidentemente discontinua in (0,0,0)
anche a me viene quella forma cartesiana per la superficie
allora il mio professore ha scritto male l'esercizio nella consegna, mancando la regolarità in (0,0) questa superficie non è regolare, quindi non se ne può dimostrare la regolarità
PS la definizione da me utilizzata per la regolarità è questa:
sia $D$ un dominio connesso di $RR^2$, un'applicazione $\vec r : D rarr RR^3$ di classe $C^1$ in $D$, è detta una superficie regolare se soddisfa le due condizioni:
1) la restrizione di $\vec r$ a $D^o$ (l'insieme dei punti interni del dominio) è iniettiva
2) per ogni elemento di $D^o$ la matrice jacobiana ha rango 2
"Bokonon":
[quote="killing_buddha"]Più che discontinua non è una varietà in nessun intorno di $0$ (se togli un punto a un aperto di $RR^2$ non lo sconnetti; se togli la singolarità all'introrno dell'origine nel cono, invece sì); tuttavia ogni falda è una varietà topologica $C^0$.
Si, intuisco cosa dici.
Prob. avrei dovuto dire che non c'è un piano tangente perchè è connessa in (0,0,0).
Comunque ho ricontrollato e mi pare tutto giusto. L'area totale dei 2 coni di raggio 1 e altezza 1 è pari a $(2pi)/3$.[/quote]
per l'area mi è venuto un risultato differente:
dati i vettori $r_u=(2u,2u,2v)$ e $r_v=(2v-2v+2u)$
calcolo il prodotto vettoriale:
$r_u \times r_v=(-4v^2-4u^2,4u^2-4v^2,8uv)$
la norma (data la proprietà di omogeneità della norma ho raccolto 4 per semplificare i calcoli):
$4 ||r_u \times r_v||=4 sqrt(v^4+2 v^2 u^2+u^4+u^4-2 u^2 v^2+ v^4+ 4 u^2 v^2)=4 sqrt(2 v^4 + 2 u^4 + 4 u^2 v^2)=4 sqrt((sqrt(2) v^2+ sqrt(2) u^2)^2)= 4 sqrt(2) (v^2+u^2)$
calcolo l'integrale che dà l'area passando in coordinate polari dato il dominio di integrazione $D={(u,v) in RR^2 : u^2+v^2<=1}$
$Area=int int_{D} ||r_u \times r_v|| dudv=4 sqrt(2) int int_{D} (u^2+v^2) dudv= 4 sqrt(2) int_{0}^{2pi} int_{0}^{1} r^3 dr= 4 sqrt(2)\2pi 1/4= sqrt(2)\ 2pi $
"qwertyce":
per l'area mi è venuto un risultato differente:
A rigore, procedendo come hai fatto tu avresti dovuto ottenere zero.
Sono due aree identiche, una positiva e una negativa, ergo la somma è zero.
Ma ovviamente l'esercizio immagino chiedesse solo aree positive.
$z^2=x^2-y^2$ perciò basta prendere un punto sulla circonferenza, ad es. (1,0), per ottenere l'altezza $ z=+-1 $ come dev'essere. E' una "clessidra" formata da due coni di altezza 1 e raggio 1.
Applica la formula per il volume di un cono e moltiplica per 2 per ottenere l'area totale della clessidra.
Post scriptum.
Ops, e invece mi sa che ho cannato l'orientamento guardando il grafico precedente.
Ecco mezzo grafico di $z=sqrt(x^2-y^2)$
Così cambia tutto e non è più una clessidra.
Resta però che se fai l'integrale dell'intera funzione, debba venire fuori zero.
"Bokonon":
[quote="qwertyce"]
per l'area mi è venuto un risultato differente:
A rigore, procedendo come hai fatto tu avresti dovuto ottenere zero.
Sono due aree identiche, una positiva e una negativa, ergo la somma è zero.
Ma ovviamente l'esercizio immagino chiedesse solo aree positive.
$z^2=x^2-y^2$ perciò basta prendere un punto sulla circonferenza, ad es. (1,0), per ottenere l'altezza $ z=+-1 $ come dev'essere. E' una "clessidra" formata da due coni di altezza 1 e raggio 1.
Applica la formula per il volume di un cono e moltiplica per 2 per ottenere l'area totale della clessidra.
Post scriptum.
Ops, e invece mi sa che ho cannato l'orientamento guardando il grafico precedente.
Ecco mezzo grafico di $z=sqrt(x^2-y^2)$
Così cambia tutto e non è più una clessidra.
Resta però che se fai l'integrale dell'intera funzione, debba venire fuori zero.[/quote]
non capisco perché allora non ho ottenuto 0 con quel calcolo.
ho provato a seguire una via diversa con la quale sono certo di calcolare l'area di uno solo dei due coni e non entrambi:
dalla forma cartesiana $x^2=y^2+z^2$ ottengo una diversa forma parametrica: $g(x,y,z)=(sqrt(y^2+z^2),y,z)$ col vincolo $x=sqrt(y^2+z^2)<=1$, per la prima componente ho preso la soluzione positiva, quindi questa espressione rappresenta solamente uno dei due coni.
faccio l'integrale di superficie utilizzando la più semplice formula per le superfici cartesiane:
area di un cono $= int int_{D} sqrt(1+ ((delg)/(dely))^2+ ((delg)/(delz))^2) dxdy=int int_{D} sqrt((2y^2+2z^2)/(y^2+z^2)) dxdy=int_{0}^{2pi} int_{0}^{1} r sqrt ((2 r^2)/r^2) dr d\theta= sqrt(2) 2 pi 1/2 = sqrt(2) pi$
moltiplicando per due, così da tener conto anche dell'altro cono, riottengo il risultato di prima.
e ho un'altra conferma dalla formula per l'area della superficie laterale del cono dalla geometria elementare:
area $=pi r a$
r è il raggio, e quindi è 1 dato il vincolo e il cono disposto lungo l'asse delle x: $x=sqrt(y^2+z^2)<=1$
considerando che l'altezza è 1, l'apotema col teorema di pitagora viene: $sqrt(r^2+h^2)=sqrt(2)$
quindi:
area $=pi r a= sqrt(2) pi$
che è lo stesso risultato di prima, e moltiplicando per due ho la superficie di entrambi i coni, e il risultato diviene uguale a quello che ho ottenuto nel precedente post.
Applica la formula per il volume di un cono e moltiplica per 2 per ottenere l'area totale della clessidra.
perché utilizzare il volume per ottenere una superficie?
"qwertyce":
perché utilizzare il volume per ottenere una superficie?
Perchè avevo letto male!
Pensavo al volume, non alla superficie
"Bokonon":
[quote="qwertyce"]
perché utilizzare il volume per ottenere una superficie?
Perchè avevo letto male!
Pensavo al volume, non alla superficie
[/quote]ah ok, comunque grazie per le risposte, insistendo a ragionare su questo esercizio pensando che il mio risultato fosse sbagliato ho acquisito maggiore dimestichezza con le superfici (è il mio primo esercizio sull'argomento)
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