Esercizio con spazi polinomiali
Apro nuovo topic come mi consigliava Magma che ringrazio per il consiglio...
Dato che credo fermamente la teoria si fissi bene con gli esercizi mi piacerebbe ricapitolare un po' quanto detto fino ad ora con un esercizio. Ho le soluzioni e mi è venuto, però troppo spesso mi sembra di andare più a intuito rispetto a una base forte teorica.... eppure sto seguendo il Lang ma tutte queste cose dalla teoria seppure ben enunciata io non le avevo capite sinceramente.
Copio-incollo:
In $R_3 [x]$, considerati i polinomi:
$p1(x) = x-(1+h)x2; p2(x) = h+x; p3(x) = 1-x3; p4(x) = 4x$;
con h nei R; determinare i valori di h per cui $(p1(x); p2(x); p3(x); p4(x))$
è una base di R3[x]:
2: Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componenti
di $q(x) = 1+x+x2+x3$ rispetto a tale base.
In realtà il secondo punto l'ho trovato più facile come concetti rispetto al primo.
Iniziamo dall'uno, io ho pensato di fare così:
Ho creato un isomorfismo grazie alle vostre dritte e ho ottenuto
$P(1)=((-1),(0),(-1+h),(0)); P(2)=((h),(1),(0),(0)), P(3)=((1),(0),(0),(-1)), P(4)=((0),(4),(0),(0))$
A questo punto so che essendo un $R_3 [x]$ Ha dimensione 4 e quindi mi aspetto quei 4 vettori linearmente indipendenti, creo così una matrice con quei vettori e impongo che siano indipendenti,come?
Beh posso fare una riduzione con gauss e mettere h in modo che non faccia scendere di rango la matrice, oppure mi è parso più semplice con Laplace e imporre determinante diverso da zero.
E in effetti mi viene per h diverso da 0 e -1(che è il risultato).
Non mi piace peròlavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Grazie
Dato che credo fermamente la teoria si fissi bene con gli esercizi mi piacerebbe ricapitolare un po' quanto detto fino ad ora con un esercizio. Ho le soluzioni e mi è venuto, però troppo spesso mi sembra di andare più a intuito rispetto a una base forte teorica.... eppure sto seguendo il Lang ma tutte queste cose dalla teoria seppure ben enunciata io non le avevo capite sinceramente.
Copio-incollo:
In $R_3 [x]$, considerati i polinomi:
$p1(x) = x-(1+h)x2; p2(x) = h+x; p3(x) = 1-x3; p4(x) = 4x$;
con h nei R; determinare i valori di h per cui $(p1(x); p2(x); p3(x); p4(x))$
è una base di R3[x]:
2: Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componenti
di $q(x) = 1+x+x2+x3$ rispetto a tale base.
In realtà il secondo punto l'ho trovato più facile come concetti rispetto al primo.
Iniziamo dall'uno, io ho pensato di fare così:
Ho creato un isomorfismo grazie alle vostre dritte e ho ottenuto
$P(1)=((-1),(0),(-1+h),(0)); P(2)=((h),(1),(0),(0)), P(3)=((1),(0),(0),(-1)), P(4)=((0),(4),(0),(0))$
A questo punto so che essendo un $R_3 [x]$ Ha dimensione 4 e quindi mi aspetto quei 4 vettori linearmente indipendenti, creo così una matrice con quei vettori e impongo che siano indipendenti,come?
Beh posso fare una riduzione con gauss e mettere h in modo che non faccia scendere di rango la matrice, oppure mi è parso più semplice con Laplace e imporre determinante diverso da zero.
E in effetti mi viene per h diverso da 0 e -1(che è il risultato).
Non mi piace peròlavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Grazie
Risposte
Cominciare con il Lang è un calvario 
A quanto ho capito il tuo problema è che vorresti rimanere in tema ‘polinomi’, senza usare isomorfismi. Giusto?
Ci sono almeno due modi.
Il primo è quello proprio che sfrutta la definizione di dipendenza lineare:
Prendi $4$ scalari e poni $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=vec(0)$
Da questa uguguaglianza ottieni un sistema lineare, da cui devi estrarre per mezzo del parametro $h$, una condizione di indipendenza lineare.
se uno spazio ha dimensione $n$, un sistema di $n$ vettori indipendenti forma una sua base
Usi questo teorema per concludere.
Il secondo è quello di usare necessariamente l’isomorfismo delle $n-uple$.
I motivi sono più o meno questi(non ho letto il post con magma, quindi spero di non star dicendo cose già dette).
Quando hai uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ di dimensione $n$ e vuoi vedere se un sistema di $2leqmleqn$ vettori è linearmente indipendente allora puoi:
• prendere $K^n$ e fissare la basi canoniche di $V$(per sbrigarsi, ma funziona in generale)
• prendere l’applicazione:
$C(lambda_1e_1+...+lambda_n e_n)=((lambda_1),( : ),(lambda_n))$
Non è necessario fissare una base su $K^n$, basta che ti convinci che tale applicazione sia effettivamente un isomorfismo tra $V$ è $K^n$
Ora qual è il motivo di usare questo isomorfismo?
sia $f:U->W$ un omomorfismo.
Se $f(u_1),...,f(u_k)$ sono indipendenti allora $u_1,...,u_k$ sono indipendenti
Quindi se prendi le tue belle $m$ colonne di componenti $A_1,...,A_m$ e dimostri che sono indipendenti, allora i corrispondenti vettori sono anch’essi indipendenti.
Quindi a questo punto cosa abbiamo?
le nostre $m$ colonne sono indipendenti se e solo se $dim =m$
Ma quella è la definizione di ‘rango di una matrice’ ovvero, della matrice che ha per colonne quelle colonne.
Pertanto tutto questo trascorso ti serve per dire se metto le componenti dei vettori in colonna, allora il rango mi dice, quanti di quei vettori sono linearmente indipendenti.
A quanto ho capito il tuo problema è che vorresti rimanere in tema ‘polinomi’, senza usare isomorfismi. Giusto?
Ci sono almeno due modi.
Il primo è quello proprio che sfrutta la definizione di dipendenza lineare:
Prendi $4$ scalari e poni $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=vec(0)$
Da questa uguguaglianza ottieni un sistema lineare, da cui devi estrarre per mezzo del parametro $h$, una condizione di indipendenza lineare.
se uno spazio ha dimensione $n$, un sistema di $n$ vettori indipendenti forma una sua base
Usi questo teorema per concludere.
Il secondo è quello di usare necessariamente l’isomorfismo delle $n-uple$.
I motivi sono più o meno questi(non ho letto il post con magma, quindi spero di non star dicendo cose già dette).
Quando hai uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ di dimensione $n$ e vuoi vedere se un sistema di $2leqmleqn$ vettori è linearmente indipendente allora puoi:
• prendere $K^n$ e fissare la basi canoniche di $V$(per sbrigarsi, ma funziona in generale)
• prendere l’applicazione:
$C(lambda_1e_1+...+lambda_n e_n)=((lambda_1),( : ),(lambda_n))$
Non è necessario fissare una base su $K^n$, basta che ti convinci che tale applicazione sia effettivamente un isomorfismo tra $V$ è $K^n$
Ora qual è il motivo di usare questo isomorfismo?
sia $f:U->W$ un omomorfismo.
Se $f(u_1),...,f(u_k)$ sono indipendenti allora $u_1,...,u_k$ sono indipendenti
Quindi se prendi le tue belle $m$ colonne di componenti $A_1,...,A_m$ e dimostri che sono indipendenti, allora i corrispondenti vettori sono anch’essi indipendenti.
Quindi a questo punto cosa abbiamo?
le nostre $m$ colonne sono indipendenti se e solo se $dim
Ma quella è la definizione di ‘rango di una matrice’ ovvero, della matrice che ha per colonne quelle colonne.
Pertanto tutto questo trascorso ti serve per dire se metto le componenti dei vettori in colonna, allora il rango mi dice, quanti di quei vettori sono linearmente indipendenti.
Un modo equivalente è quello di esprimere uno dei polinomi dati come combinazione lineare dei rimanenti.
Passando ai calcoli, dette a,b,c tre indeterminate, si cerca di esprimere ( per esempio) $P_4(x) $ come
combinazione di $P_1(x),P_2(x),P_3(x)$ secondo queste indeterminate:
$aP_1(x)+bP_2(x)+cP_3(x)=P_4(x)$
Facendo gli opportuni calcoli si ottiene il sistema:
\begin{equation}\begin{cases}c=0\\a(1+h)=0\\a+b=4\\bh+c=0\end{cases} \end{equation}
Da questo sistema si ottengono due vettori-soluzioni (A) e (B):
(A):
\begin{equation}\begin{cases}a=4\\b=0\\c=0\\h=-1\end{cases} \end{equation}
(B):
\begin{equation}\begin{cases}a=0\\b=4\\c=0\\h=0\end{cases} \end{equation}
Pertanto i valori cercati di h sono $h=-1,h=0$ come richiesto.
Passando ai calcoli, dette a,b,c tre indeterminate, si cerca di esprimere ( per esempio) $P_4(x) $ come
combinazione di $P_1(x),P_2(x),P_3(x)$ secondo queste indeterminate:
$aP_1(x)+bP_2(x)+cP_3(x)=P_4(x)$
Facendo gli opportuni calcoli si ottiene il sistema:
\begin{equation}\begin{cases}c=0\\a(1+h)=0\\a+b=4\\bh+c=0\end{cases} \end{equation}
Da questo sistema si ottengono due vettori-soluzioni (A) e (B):
(A):
\begin{equation}\begin{cases}a=4\\b=0\\c=0\\h=-1\end{cases} \end{equation}
(B):
\begin{equation}\begin{cases}a=0\\b=4\\c=0\\h=0\end{cases} \end{equation}
Pertanto i valori cercati di h sono $h=-1,h=0$ come richiesto.
Davvero grazie mille, chiarissimo e molto preciso. Mi piace!
Senza di voi non ne sarei uscito da questo dubbio
Eh,me ne sono accorto . In realtà ho sia il Lang che quello consigliato dal professore del corso e beh... in realtà mi pare i libri di algebra lineare ti diano come dei tasselli tutti smontati e nessuna traccia, poi ti trovi di fronte all'esercizio e dici ah bene ho dei pezzi ma come li rimonto? XD Mi sale lo sconforto metterci un giorno a riordinare le idee di qualcosa spiegato in tipo 2 ore di lezione.
Non capisco dove sbaglio nello studio dato che son sempre stato bravino al liceo! Il fatto è che non capisco dove vengano spiegate 'ste cose.Possibileche 2/2 libri non mi diano un'idea se non solo teoremi?
Vedremo se passerò mai 'sto esame o fallirò miseramente XD
EDIT:
Giusto, che sono i valori per cui è un sistema incompatibie! Grazie dell'idea..
Senza di voi non ne sarei uscito da questo dubbio
"anto_zoolander":
Cominciare con il Lang è un calvario
Eh,me ne sono accorto
. In realtà ho sia il Lang che quello consigliato dal professore del corso e beh... in realtà mi pare i libri di algebra lineare ti diano come dei tasselli tutti smontati e nessuna traccia, poi ti trovi di fronte all'esercizio e dici ah bene ho dei pezzi ma come li rimonto? XD Mi sale lo sconforto metterci un giorno a riordinare le idee di qualcosa spiegato in tipo 2 ore di lezione.Non capisco dove sbaglio nello studio dato che son sempre stato bravino al liceo! Il fatto è che non capisco dove vengano spiegate 'ste cose.Possibileche 2/2 libri non mi diano un'idea se non solo teoremi?
Vedremo se passerò mai 'sto esame o fallirò miseramente XD
EDIT:
"massimoaa":
Un modo equivalente...
Giusto, che sono i valori per cui è un sistema incompatibie! Grazie dell'idea..
Il liceo è una cosa, l’università un’altra.
Ho visto gente bravissima al liceo, crollare miseramente sotto lo stress.
Due cose che ho imparato sono:
• Le cose cominci a capirle quando hai finito il percorso ed hai una visione più ampia della situazione.
• più che prenderche esempi dai libri, devi imparare anche a farteli da solo
In fine i teoremi, specialmente quelli con dimostrazioni costruttive, ti aiutano tantissimo anche nella pratica.
Ho visto gente bravissima al liceo, crollare miseramente sotto lo stress.
Due cose che ho imparato sono:
• Le cose cominci a capirle quando hai finito il percorso ed hai una visione più ampia della situazione.
• più che prenderche esempi dai libri, devi imparare anche a farteli da solo
In fine i teoremi, specialmente quelli con dimostrazioni costruttive, ti aiutano tantissimo anche nella pratica.
"staultz":
Non mi piace però lavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Masochismo??
"anto_zoolander":
Due cose che ho imparato sono:
• Le cose cominci a capirle quando hai finito il percorso ed hai una visione più ampia della situazione.
• più che prenderche esempi dai libri, devi imparare anche a farteli da soloI
Più che vero!
Masochismo??
EH un pochino si. Ho strane perversioni, lo ammetto XD
Grazie a tutti comunque! Stanotte potrò dormire tranquillo
"anto_zoolander":
Le cose cominci a capirle quando hai finito il percorso ed hai una visione più ampia della situazione.
come sono d'accordo. secondo me è anche perchè poi (specialmente in fisica) si cominciano ad utilizzare quegli strumenti per qualcosa e quindi delle cose che prima sembravano un po' inutili capisci che invece non lo sono e l'idea ti si ferma di più in testa. un esempio eclatante con cui ho avuto a che fare proprio quest'anno è con meccanica quantistica: tutta la parte fatta l'anno scorso dei costrutti della teoria e le principali tecniche matematiche mi sembravano molto evanescenti ed inarrivabili. quando quest'anno abbiamo cominciato ad usare quei concetti in struttura della materia e fisica nucleare, ho visto la luce!
fortunatamente l'esame si spezza su due anni quindi questa luce ora mi torna comoda
Aldilà dell’utilita che possa avere o meno uno strumento matematico, la cosa utile è il modo di ragionare sempre più profondo a cui ti devi abituare e che vuoi o non vuoi ti forma.
È un po’ come studiare una lingua, con le sue terminologie e con i suoi possibili utilizzi.
Io ancora sono un povero studente del secondo anno, ma devo ammettere che da quando ho iniziato ad ora sono cambiate parecchie cose, senza che me ne rendessi conto, anche in campi che non hanno nulla a che fare con la matematica.
Quindi ogni tanto se ti capita di dare letteralmente testate ai libri, stai tranquillo, è tutto normale
È un po’ come studiare una lingua, con le sue terminologie e con i suoi possibili utilizzi.
Io ancora sono un povero studente del secondo anno, ma devo ammettere che da quando ho iniziato ad ora sono cambiate parecchie cose, senza che me ne rendessi conto, anche in campi che non hanno nulla a che fare con la matematica.
Quindi ogni tanto se ti capita di dare letteralmente testate ai libri, stai tranquillo, è tutto normale
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