Esercizio con polinomio complesso. Molteplicità delle radici.
Determinare la molteplicità m di i come radice di $ p(z)= iz^4 + 3z^3 +(1-2i) z^2+ (1-2i)z - (1+i) $ ed il quoziente $ q(z) $ della divisione $ p(z) : (z-i)^m $.
Cosa si intende per "molteplicità di i" ? Determinare le radici del polinomio complesso tale che p(i)=0 ?
Aiuto, per favore.
Cosa si intende per "molteplicità di i" ? Determinare le radici del polinomio complesso tale che p(i)=0 ?
Aiuto, per favore.
Risposte
Dato $P(i)=0$ (ovvero i è una radice) devi trovarne la molteplicità algebrica.
Puoi scrivermi la risoluzione dell'esercizio?
E grazie dell'aiuto.
E grazie dell'aiuto.
Il polinomio $p(z)$ è divisibile per $z-i$, il testo ti chiede di determinare quanto vale $m$ per cui il polinomio sia divisibile per $(z-i)^m$. Effettuando la prima divisione ottieni
$ p(z)= iz^4 + 3z^3 +(1-2i) z^2+ (1-2i)z - (1+i) = (z-i)(iz^3+2z^2+z+1-i)$ il quoziente di terzo grado è ancora divisibile per $z-i$, quindi divisione di nuovo che risulta $p(z) = (z-i)^2 (iz^2+z+1+i)$, l'ultimo polinomio ottenuto non è divisibile per $z-i$, quindi la molteplicità della radice $i$ è 2 cioè il fattore $z-i$ compare al quadrato ed il quoziente $ q(z) $ della divisione $ p(z) : (z-i)^2 $ vale $ q(z) = iz^2+z+1+i$.
$ p(z)= iz^4 + 3z^3 +(1-2i) z^2+ (1-2i)z - (1+i) = (z-i)(iz^3+2z^2+z+1-i)$ il quoziente di terzo grado è ancora divisibile per $z-i$, quindi divisione di nuovo che risulta $p(z) = (z-i)^2 (iz^2+z+1+i)$, l'ultimo polinomio ottenuto non è divisibile per $z-i$, quindi la molteplicità della radice $i$ è 2 cioè il fattore $z-i$ compare al quadrato ed il quoziente $ q(z) $ della divisione $ p(z) : (z-i)^2 $ vale $ q(z) = iz^2+z+1+i$.
Perfetto. Grazie mille
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