Esercizio con parametri

[WaywardOne]

Salve!
Il mio professore ha messo questo esercizio in uno dei suoi compiti ma sinceramente non so come risolverlo :
Siano dati in R^4 i vettori v1=(-2,0,-2,0), v2=(2,h,2,h) e v3=(1,1+h,1,2h) con h ∈ R.
Sia W=L(v1,v2,v3):
a) Trovare dimW e una base di W al variare di h;
b) Scegliere un valore di h per cui v1,v2,v3 risultino linearmente indipendenti e completare l'insieme v1,v2,v3 a una base di R^4.

Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille in anticipo.

[cooper1]

quali sono i tuoi dubbi? che cosa avevi pensato di fare?
Hint: per il punto a) studia il rango della matrice formata dai vettori...

[WaywardOne]

Io avevo pensato di ridurre la matrice perché grazie alla riduzione trovo la dimW e teoricamente anche la base perché mi rimangono solo i vettori linearmente indipendenti.. solo che c'è il "problema" del parametro.. se io trovo ad esempio h=2, dovrò dire che per qualsiasi valore di h diverso da 2 i vettori formano una base di W e poi sceglierne uno arbitrario per far risultare i vettori l.i. e trovare una base?

[cooper1]

"tw21":Io avevo pensato di ridurre la matrice perché grazie alla riduzione trovo la dimW e teoricamente anche la base perché mi rimangono solo i vettori linearmente indipendenti..

corretto. devi studiare il rango della matrice al variare del parametro. se per esempio venisse che il rango è 3 per $h=3$ allora la dimensione di W è 3 e una sua base è costituita da tutti e tre i vettori che lo generano.
se invece ha che ne so rango 2 per $h=5$ allora la dimensione è 2 e una base è formata dai vettori della matrice non ridotta corrispondenti alle colonne dei due pivot.

[WaywardOne]

Va bene, grazie mille