Esercizio con Cramer
si determinino le x appartenenti ad $RR^3$ tali che:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 3 , 2 , 5 ),( 2 , 2 , 4 ) ) *x=0$
ora, siccome è un sistema omogeneo c'è una soluzione particolare x=$((0),(0),(0))$
il determinante, calcolato come 1*(8-10)-3(8-6)+2(10-6) è 0, quindi il sistema ha infinite soluzioni se non sbaglio.
Trovo il minore 2x2 con determinante diverso da 0, quindi il rango è 2. Lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1.
Ora applico Cramer, cioè facendo il determinante della matrice con sostituito di volta in volta nelle tre colonne la colonna $((0),(0),(0))$ e dividendo per il determinante del minore 2x2. Così dovrei trovare una delle soluzioni x appartenente ad $RR^3$
è giusto come l'ho svolto?
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 3 , 2 , 5 ),( 2 , 2 , 4 ) ) *x=0$
ora, siccome è un sistema omogeneo c'è una soluzione particolare x=$((0),(0),(0))$
il determinante, calcolato come 1*(8-10)-3(8-6)+2(10-6) è 0, quindi il sistema ha infinite soluzioni se non sbaglio.
Trovo il minore 2x2 con determinante diverso da 0, quindi il rango è 2. Lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1.
Ora applico Cramer, cioè facendo il determinante della matrice con sostituito di volta in volta nelle tre colonne la colonna $((0),(0),(0))$ e dividendo per il determinante del minore 2x2. Così dovrei trovare una delle soluzioni x appartenente ad $RR^3$
è giusto come l'ho svolto?
Risposte
mmm...mi sa che non ho afferrato il concetto.
Non sono pratico di algebra (e si vede)
potresti mostrarmi come si risolve rigorosamente un esercizio del genere? grazie in anticipo
Non sono pratico di algebra (e si vede)
potresti mostrarmi come si risolve rigorosamente un esercizio del genere? grazie in anticipo
La regola di Sarrus è molto comoda per calcolare i determinanti 3x3, non la disprezzare troppo!! 
La regola di Cramer ti permette, quando hai un sistema con uno o più parametri,
di trovare la soluzione del sistema nei casi in cui è unica: anche lei è molto comoda.
E' vero che il metodo di Gauss è il più veloce (questo non lo mette in dubbio nessuno),
ma a seconda del contesto è bene avere più "strumenti" a disposizione.
Se hai un sistema lineare parametrico e lo vuoi risolvere SOLO con Gauss, rischi
di fare un sacco di casi particolari (e magari di sbagliare...)
La regola di Cramer ti permette, quando hai un sistema con uno o più parametri,
di trovare la soluzione del sistema nei casi in cui è unica: anche lei è molto comoda.
E' vero che il metodo di Gauss è il più veloce (questo non lo mette in dubbio nessuno),
ma a seconda del contesto è bene avere più "strumenti" a disposizione.
Se hai un sistema lineare parametrico e lo vuoi risolvere SOLO con Gauss, rischi
di fare un sacco di casi particolari (e magari di sbagliare...)
Io sono d'accordo con Sergio al 90%. La regola di Sarrus la cancellerei dalla faccia della terra, e anche il metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi "secchi", senza parametri e complicazioni del genere. Ma il teorema di Cramer, quello che dice
$A*["cof"A]^T=detA * I$
e dal quale si ricava il metodo omonimo non lo abolirei, anche se (forse) non indispensabile trovo che abbia la sua importanza.
Per esempio, se abbiamo una matrice invertibile di funzioni continue, le entrate della matrice inversa sono ancora continue. Vale anche con le funzioni derivabili. Come fare a dimostrare una cosa del genere senza questo teorema? E' certamente possibile, ma richiede tecniche non banali [size=75](*)[/size]. Mentre con la formula di sopra è come bere un bicchiere d'acqua: le entrate della matrice inversa di $A$ si ottengono dalle entrate di $A$ per mezzo di operazioni algebriche (cofattori, determinanti, somme e prodotti), quindi conservano tutta la regolarità delle entrate di $A$. Fine.
Vabbé, era una piccola digressione, chiedo scusa a Blackorgasm se ho confuso troppo le acque.
_________________________________
[size=75](*)[/size] Se qualcuno si dovesse essere incuriosito, se ne parla sul Lang Real and functional analysis, oppure a livello più semplice sul suo Undergraduate analysis, rispettivamente nei capitoli dedicati alla differenziazione negli spazi di Banach e al teorema della funzione inversa.
$A*["cof"A]^T=detA * I$
e dal quale si ricava il metodo omonimo non lo abolirei, anche se (forse) non indispensabile trovo che abbia la sua importanza.
Per esempio, se abbiamo una matrice invertibile di funzioni continue, le entrate della matrice inversa sono ancora continue. Vale anche con le funzioni derivabili. Come fare a dimostrare una cosa del genere senza questo teorema? E' certamente possibile, ma richiede tecniche non banali [size=75](*)[/size]. Mentre con la formula di sopra è come bere un bicchiere d'acqua: le entrate della matrice inversa di $A$ si ottengono dalle entrate di $A$ per mezzo di operazioni algebriche (cofattori, determinanti, somme e prodotti), quindi conservano tutta la regolarità delle entrate di $A$. Fine.
Vabbé, era una piccola digressione, chiedo scusa a Blackorgasm se ho confuso troppo le acque.
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[size=75](*)[/size] Se qualcuno si dovesse essere incuriosito, se ne parla sul Lang Real and functional analysis, oppure a livello più semplice sul suo Undergraduate analysis, rispettivamente nei capitoli dedicati alla differenziazione negli spazi di Banach e al teorema della funzione inversa.
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