Esercizio compito Geometria (applicazioni lineari)
Qualcuno saprebbe spiegarmi come fare questo esercizio? Ve ne sarei molto grata. 
Risposte
Mi scuso, ma dell'esercizio in causa son riuscita a fare veramente molto poco e quindi ho pensato di evitare del tutto una mio accenno..
In ogni caso la matrice associata dovrebbe essere:
$(1,1,0,0)(1,1,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)$
E dunque essendo prima e seconda colonna dipendenti, $dim Imf = 3$ e $ImF = span(v1)(v3)(v4)$ , mentre $ker = span(1, -1)$ e quindi $dim ker = 1$.
Ammesso che tutto ciò sia fatto bene (potete confermare?), c) e d) come dovrebbero essere impostate?
In ogni caso la matrice associata dovrebbe essere:
$(1,1,0,0)(1,1,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)$
E dunque essendo prima e seconda colonna dipendenti, $dim Imf = 3$ e $ImF = span(v1)(v3)(v4)$ , mentre $ker = span(1, -1)$ e quindi $dim ker = 1$.
Ammesso che tutto ciò sia fatto bene (potete confermare?), c) e d) come dovrebbero essere impostate?
Nessuno che può aiutarmi?
L'immagine di una qualche spazio vettoriale attraverso una qualche applicazione lineare può al massimo avere la sua dimensione. Che cosa ti dice questo fatto su $Im(h)$? Può essere uguale a $Im(f)$?
"Sakineh":
Mi scuso, ma dell'esercizio in causa son riuscita a fare veramente molto poco e quindi ho pensato di evitare del tutto una mio accenno..
In ogni caso la matrice associata dovrebbe essere:
$(1,1,0,0)(1,1,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)$
E dunque essendo prima e seconda colonna dipendenti, $dim Imf = 3$ e $ImF = span(v1)(v3)(v4)$ , mentre $ker = span(1, -1)$ e quindi $dim ker = 1$.
Ammesso che tutto ciò sia fatto bene (potete confermare?), c) e d) come dovrebbero essere impostate?
Una base del ker sarà formato da vettori di $RR^4$ quindi semmai $(1,-1,0,0)$
Si certo, ho per sbaglio dimenticato di trascrivere i due zeri. 
Stai dicendo che $Im(f) != Im(h)$ perché dovrebbero avere dimensioni differenti, e dunque sia c) che d) avrebbero NO come risposta?
Mi sembra strano: le applicazioni lineari non mandano, per definizione, uno o più vettori ad una dimensione diversa da quella originaria?
"apatriarca":
L'immagine di una qualche spazio vettoriale attraverso una qualche applicazione lineare può al massimo avere la sua dimensione. Che cosa ti dice questo fatto su $Im(h)$? Può essere uguale a $Im(f)$?
Stai dicendo che $Im(f) != Im(h)$ perché dovrebbero avere dimensioni differenti, e dunque sia c) che d) avrebbero NO come risposta?
Mi sembra strano: le applicazioni lineari non mandano, per definizione, uno o più vettori ad una dimensione diversa da quella originaria?
Quello che ti è stato suggerito è di pensare a questa relazione $dimV=dimKerf+dimImf$. Dove $V=RR^2$ nel primo esercizio.
Ora queste sono quantità tutte positive, quindi dovresti avere $2=dimKerf+3$. Ha risoluzione?
Pensa alla d) anche in questi termini
Ora queste sono quantità tutte positive, quindi dovresti avere $2=dimKerf+3$. Ha risoluzione?
Pensa alla d) anche in questi termini
Solo c) ha no come risposta perché l'immagine di $RR^2$ in qualsiasi altro spazio vettoriale può al massimo avere dimensione $2$. Riguardati la teoria se non ti è chiaro il perché. Puoi pensare in termini di rango della matrice associata se preferisci, ma la risposta sarà sempre e solo che per nel punto c, $dim Im(h) <= 2$.
Questo discorso non vale per il punto d. La mappa $g(x, y, z) = (x, x, y, z)$ ha infatti ad esempio la stessa immagine della tua mappa $f$ (anche se non è quella che ti chiede nell'esercizio). Un'applicazione lineare è definita dall'immagine delle basi. Nel tuo caso hai l'immagine di $e_1$ che appartiene a $Im(f)$. Siccome $Im(f)$ ha dimensione $3$ dovrai trovare $h(e_2)$ e $h(e_3)$ (non sono unici) in modo che $h(e_1)$, $h(e_2)$ e $h(e_3)$ sia una base di $Im(f)$.
Questo discorso non vale per il punto d. La mappa $g(x, y, z) = (x, x, y, z)$ ha infatti ad esempio la stessa immagine della tua mappa $f$ (anche se non è quella che ti chiede nell'esercizio). Un'applicazione lineare è definita dall'immagine delle basi. Nel tuo caso hai l'immagine di $e_1$ che appartiene a $Im(f)$. Siccome $Im(f)$ ha dimensione $3$ dovrai trovare $h(e_2)$ e $h(e_3)$ (non sono unici) in modo che $h(e_1)$, $h(e_2)$ e $h(e_3)$ sia una base di $Im(f)$.
Ahh ho capito, quindi non era totalmente da buttare il ragionamento che avevo fatto prima di proporre l'esercizio sul forum..
In pratica in d) -> $dimKer(h) = 0$, inoltre poiché $h(e1) = (0,0,1,1)$, devo trovare $h(e2)$ ed $h(e3)$ in modo che il loro span, con $h(e1)$ compreso, sia base di $Im(f)$.
Ecco.. ora questo calcolo come deve essere impostato? Credo che come scritto da me qui di seguito sia errato..
$x1 | ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) | + x2 | ( a ),( b ),( c ),( d ) | + x3 | ( a' ),( b' ),( c' ),( d' ) | = | ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) |$
In pratica in d) -> $dimKer(h) = 0$, inoltre poiché $h(e1) = (0,0,1,1)$, devo trovare $h(e2)$ ed $h(e3)$ in modo che il loro span, con $h(e1)$ compreso, sia base di $Im(f)$.
Ecco.. ora questo calcolo come deve essere impostato? Credo che come scritto da me qui di seguito sia errato..
$x1 | ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) | + x2 | ( a ),( b ),( c ),( d ) | + x3 | ( a' ),( b' ),( c' ),( d' ) | = | ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) |$
Ogni vettore in $Im(f)$ può essere scritto come combinazione lineare della base che hai trovato. Per cui
$h(e_1) = e_3 + e_4 = (0, 0, 1, 1) = 0*(1, 1, 0, 0) + 1*(0, 0, 0, 1) + 1*(0, 0, 1, 0)$
Devi quindi trovare
$h(e_2) = a*(1, 1, 0, 0) + b*(0, 0, 0, 1) + c*(0, 0, 1, 0)$
$h(e_3) = d*(1, 1, 0, 0) + e*(0, 0, 0, 1) + f*(0, 0, 1, 0)$
in modo da avere i 3 vettori indipendenti cioè:
$det((0, 1, 1),(a, b, c),(d, e, f)) != 0$
Risolvendo troverai l'equazione di tutti i possibili $h(e_2)$ e $h(e_3)$. Ma fai prima a scegliere i valori a caso. Te ne chiede infatti solo 1.
$h(e_1) = e_3 + e_4 = (0, 0, 1, 1) = 0*(1, 1, 0, 0) + 1*(0, 0, 0, 1) + 1*(0, 0, 1, 0)$
Devi quindi trovare
$h(e_2) = a*(1, 1, 0, 0) + b*(0, 0, 0, 1) + c*(0, 0, 1, 0)$
$h(e_3) = d*(1, 1, 0, 0) + e*(0, 0, 0, 1) + f*(0, 0, 1, 0)$
in modo da avere i 3 vettori indipendenti cioè:
$det((0, 1, 1),(a, b, c),(d, e, f)) != 0$
Risolvendo troverai l'equazione di tutti i possibili $h(e_2)$ e $h(e_3)$. Ma fai prima a scegliere i valori a caso. Te ne chiede infatti solo 1.
Grande! Ho capito, quindi ad esempio:
$| ( 0, 1, 1 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 2, 1, 1 ) |$ , dovrebbe essere una tra le tante.
$| ( 0, 1, 1 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 2, 1, 1 ) |$ , dovrebbe essere una tra le tante.
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