Esercizio combinazione lineare
Salve ho questo esercizio :
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano $\vec w_1,...,\vec w_n in V$ in oltre si a che $\vec w_i$ =$L(\vec w_1,..,\vec w_(i-1),\vec w_(i+1),...,\vec w_n)$.
Dimostrare che : $L(w_1,...,w_n) = L(\vec w_1,..,\vec w_(i-1),\vec w_(i+1),...,\vec w_n)$
Quindi la mia ipotesi è : $\vecw_i = a_1\vec w_1+...a_(i-1) \vec w_(i-1)+a_(i+1) \vec w_(i+1)+...+a_n\vec w_n$
e so che cosa significa combinazione lineare allora $L(w_1,...,w_n)$ lo posso scrivere cosi :
$(a_1+b_1)\vec w_1+...+(a_(i-1)+b_(i-1))\vec w_(i-1)+(a_(i+1)+b(i+1))\vec w_(i+1)+...+(a_n+b_n)\vec w_n$.
Ecco adesso per dire che i due insiemi sono uguali dovrei fare vedere che uno e incluso nell'altro...come si fa??
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano $\vec w_1,...,\vec w_n in V$ in oltre si a che $\vec w_i$ =$L(\vec w_1,..,\vec w_(i-1),\vec w_(i+1),...,\vec w_n)$.
Dimostrare che : $L(w_1,...,w_n) = L(\vec w_1,..,\vec w_(i-1),\vec w_(i+1),...,\vec w_n)$
Quindi la mia ipotesi è : $\vecw_i = a_1\vec w_1+...a_(i-1) \vec w_(i-1)+a_(i+1) \vec w_(i+1)+...+a_n\vec w_n$
e so che cosa significa combinazione lineare allora $L(w_1,...,w_n)$ lo posso scrivere cosi :
$(a_1+b_1)\vec w_1+...+(a_(i-1)+b_(i-1))\vec w_(i-1)+(a_(i+1)+b(i+1))\vec w_(i+1)+...+(a_n+b_n)\vec w_n$.
Ecco adesso per dire che i due insiemi sono uguali dovrei fare vedere che uno e incluso nell'altro...come si fa??
Risposte
Ma L è lineare in Vx...xV (n-1 volte) in V ?
non ho capito cosa mi chiedi...
Ciao
Gli argomenti di L sono vettori ?,
Il dominio di L quale è ?
La traccia del problema è proprio come la hai riportata?
Gli argomenti di L sono vettori ?,
Il dominio di L quale è ?
La traccia del problema è proprio come la hai riportata?
Scusa non ho specificato che L è la combinazione lineare di quei vettori
Ciao
Osserva che (è facile dimostrare) se ogni vettore di un sistema A è combinazione lineare di un sistema B allora
è incluso in .
, sono le chiusure lineari dei sistemi A,B
Ora è tutto facile.
Osserva che (è facile dimostrare) se ogni vettore di un sistema A è combinazione lineare di un sistema B allora
è incluso in .
, sono le chiusure lineari dei sistemi A,B
Ora è tutto facile.
cosa significa chiusure lineari?
Scusa
spesso è un problema di terminologia.
La totalità delle combinazioni lineari i cui vettori stanno in A. Che poi è uno spazio vettoriale, lo spazio generato da A.
Un vettore u che è combinazione lineare di A.
Ogni vettore di A è combinazione di vettori di B.
Allora u è combinazione lineare di B
Se hai difficoltà non esitare a scrivere
Ciao
Mino
spesso è un problema di terminologia.
La totalità delle combinazioni lineari i cui vettori stanno in A. Che poi è uno spazio vettoriale, lo spazio generato da A.
Un vettore u che è combinazione lineare di A.
Ogni vettore di A è combinazione di vettori di B.
Allora u è combinazione lineare di B
Se hai difficoltà non esitare a scrivere
Ciao
Mino
si ma cosi facendo tu hai dimostrato l'inclusione di A rispetto a B ma per poter essere uguali bisogna anche mostrare che l'inclusione di B rispetto ad A ed è qui ke non mi trovo
Il vettore Wi è per ipotesi combinazione dei rimanenti
ecco il pezzo che mi mancava, era scritto nell'ipotesi XD
Non era difficile..
Però è importante come esercizio, in quanto ti permette di eliminare i vettori che dipendono dai rimanenti in un sistema
conservando importanti proprietà tra cui il rango arrivando a riconoscere i sistemi liberi (base).
Ciao e buono studio
Però è importante come esercizio, in quanto ti permette di eliminare i vettori che dipendono dai rimanenti in un sistema
conservando importanti proprietà tra cui il rango arrivando a riconoscere i sistemi liberi (base).
Ciao e buono studio
Quanti giri di parole per una cosa molto semplice:
Segnando con \(\displaystyle V_1 = \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_n) \) e \(\displaystyle V_2 = \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_{i-1}, \mathbf{v}_{i+1}, \dotsc, \mathbf{v}_n) \) si ha banalmente \(\displaystyle V_1 \supseteq V_2 \) (non penso ci sia bisogno di spenderci parole su).
Nel senso opposto prendi un \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_1 \) e dimostreremo che \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \) allora \(\displaystyle \mathbf{v} = \alpha_{1}\mathbf{v}_1 + \dotsb + \alpha_{i}\mathbf{v}_{i} + \dotsb + \alpha_n\mathbf{v}_n \). Se \(\displaystyle \alpha_i = 0 \) allora \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \) e abbiamo finito. Supponiamo quindi che \(\displaystyle \alpha_i \neq 0 \) e che \(\displaystyle \mathbf{v}_i = \beta_{1}\mathbf{v}_1 + \dotsb + \beta_{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + \beta_{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + \dotsb + \beta_n\mathbf{v}_n \), allora \(\displaystyle \mathbf{v} = (\alpha_1 + \alpha_i\beta_{1})\mathbf{v}_1 + \dotsb + (\alpha_{i-1} + \alpha_{i}\beta_{i-1})\mathbf{v}_{i-1} + (\alpha_{i+1} + \alpha_{i}\beta_{i+1})\mathbf{v}_{i-1} + \dotsb + (\alpha_n + \alpha_i\beta_n)\mathbf{v}_n \in V_2\).
Dubbi?
Segnando con \(\displaystyle V_1 = \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_n) \) e \(\displaystyle V_2 = \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_{i-1}, \mathbf{v}_{i+1}, \dotsc, \mathbf{v}_n) \) si ha banalmente \(\displaystyle V_1 \supseteq V_2 \) (non penso ci sia bisogno di spenderci parole su).
Nel senso opposto prendi un \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_1 \) e dimostreremo che \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \) allora \(\displaystyle \mathbf{v} = \alpha_{1}\mathbf{v}_1 + \dotsb + \alpha_{i}\mathbf{v}_{i} + \dotsb + \alpha_n\mathbf{v}_n \). Se \(\displaystyle \alpha_i = 0 \) allora \(\displaystyle \mathbf{v}\in V_2 \) e abbiamo finito. Supponiamo quindi che \(\displaystyle \alpha_i \neq 0 \) e che \(\displaystyle \mathbf{v}_i = \beta_{1}\mathbf{v}_1 + \dotsb + \beta_{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + \beta_{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + \dotsb + \beta_n\mathbf{v}_n \), allora \(\displaystyle \mathbf{v} = (\alpha_1 + \alpha_i\beta_{1})\mathbf{v}_1 + \dotsb + (\alpha_{i-1} + \alpha_{i}\beta_{i-1})\mathbf{v}_{i-1} + (\alpha_{i+1} + \alpha_{i}\beta_{i+1})\mathbf{v}_{i-1} + \dotsb + (\alpha_n + \alpha_i\beta_n)\mathbf{v}_n \in V_2\).
Dubbi?
adesso non più grazie mille 
"vict85":
Quanti giri di parole per una cosa molto semplice:
Dubbi?
Era semplicemente per non togliere il gusto della risoluzione del problema.
Non trovi Vict ?
@megaempire - Non ho capito.
@Mino_01 - Ok. Comunque \(\displaystyle \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) è, in alcuni libri italiani, quello che tu segni con \(\displaystyle \langle \mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n \rangle \). È una notazione abbastanza comune quindi ti conviene farci un po’ di abitudine. All’estero si usa anche \(\displaystyle \mathrm{Span}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) o \(\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) (anche con altri tipi di parentesi).
Comunque se si usa la definizione di \(\displaystyle \mathrm{Sp}(S) \) come il più piccolo sottospazio che contiene \(\displaystyle S \) allora si può dimostrare che \(\displaystyle \mathrm{Sp}(S\cup T) = \mathrm{Sp}(S\cup T)\) per ogni \(\displaystyle T\subset \mathrm{Sp}(S) \) senza scomodare le basi. Che le due definizioni siano equivalenti è comunque semplice. Invito a provarci per chi non lo ha già fatto.
Dopo 100 messaggi dovresti comunque cominciare ad usare le formule...
@Mino_01 - Ok. Comunque \(\displaystyle \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) è, in alcuni libri italiani, quello che tu segni con \(\displaystyle \langle \mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n \rangle \). È una notazione abbastanza comune quindi ti conviene farci un po’ di abitudine. All’estero si usa anche \(\displaystyle \mathrm{Span}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) o \(\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{v}_1,\dotsc, \mathbf{v}_n) \) (anche con altri tipi di parentesi).
Comunque se si usa la definizione di \(\displaystyle \mathrm{Sp}(S) \) come il più piccolo sottospazio che contiene \(\displaystyle S \) allora si può dimostrare che \(\displaystyle \mathrm{Sp}(S\cup T) = \mathrm{Sp}(S\cup T)\) per ogni \(\displaystyle T\subset \mathrm{Sp}(S) \) senza scomodare le basi. Che le due definizioni siano equivalenti è comunque semplice. Invito a provarci per chi non lo ha già fatto.
Dopo 100 messaggi dovresti comunque cominciare ad usare le formule...
Hai perfettamente ragione
e grazie per i consigli.
Non guastano mai.
Ma mentre scrivo metto a posto la libreria e tra una spolverata e una altra...
e grazie per i consigli.
Non guastano mai.
Ma mentre scrivo metto a posto la libreria e tra una spolverata e una altra...
non ci sono più dubbi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo