Esercizio carino varietà

[miuemia]

sia $M$ una varietà connessa e siano $U$ e $V$ due aperti con $\phi$ e $\psi$ i rispettivi omeomorfismi.

dimostrare che $\phi(U)$ e $\psi(V)$ sono contenuti in uno stesso $RR^n$... cioè vale a dire $n$ è ben determinato.

semplice ma carino

[Thomas16]

mmm...... venitemi in aiuto... mi serve imparare qualcosina sulle varietà per capire i gruppi di Lie...

così a botta e 'raccontando' l'idea mi verrebbe da dire:

Prendo A={punti varietà con dimensione n}

- A è un insieme aperto... infatti dato un punto l'omeomorfismo con l'aperto di R^n è definito in un intorno del punto per definizione. (Al max se prendo un punto nell'intorno non avrò un omeomorfismo centrato ma chissene);

- A è chiuso... per assurdo se esiste un punto sulla chiusura con dimensione diversa prendo l'intorno definito dal suo omeomorfismo... per chiusura questo intorno interseca A. A questo punto i punti sull'intersezione avrebbero due dimensioni diverse.. assurdo perchè R^n ed R^m non hanno intorni omeomorfi (che non so come si dimostri ma dovrebbe essere vero...a proposito matematici, come si dimostra? quale è l'invariante che non si salva?)

quindi A, se non vuoto, è tutto M...

non sono assolutamente sicuro che la domanda è questa nè che i ragionamenti sopra c'entrano(io ho provato a dimostrare solo che n è costante sulla varietà connessa)... ditemi voi...

[miuemia]

mhmhmh...potrebbe filare per me... aspetto conferme da altri... il fatto che non siano omeomorfi $RR^n$ e $RR^m$ lo si dimostra utilizzando la teoria dell'omologia... e poichè l'omologia di $RR^n$ dipende da $n$ allora se per assurdo fossero omeomorfi allora i gruppi di omologia sarebbero isomorfi ed è assurdo in quanto per $n!=m$ tali gruppi sono diversi.