Esercizio cardinalità insiemi
Ciao, volevo chiedervi se è giusta lo soluzione di questo esercizio.
Sia $A:={ninN|2<=n<=15}$, sia $B:={ninA|n$ è primo$}$ e sia $C:={ninB|n>=7}$. Si calcoli la cardinalità dei seguenti insiemi:
$X:=A\\(BUC)$
$Y:={finA^B|f$ è iniettiva e $Cnnf(B)=O/}$
$Z:={finA^B|f$ è iniettiva e $|Xnnf(B)=3|}$
Soluzione...
$|A|=14$, $|B|=6$, $|C|=3$.
$|X|=|A|-|BUC|=|A|-|B|-|C|+|BnnC|=(15-2+1)-(6)-(3)+(3)=8
$|Y|$ => numero di tutte le funzioni iniettive da $B$(un 6-insieme) in $A\\C$(un 11-insieme) => $((|A|-|C|)!)/((|A|-|C|-|B|)!)=(11!)/((14-3-8)!)=(11!)/(3!)
$|Z|$ => ho provato ma non riesco ...
ciao
Sia $A:={ninN|2<=n<=15}$, sia $B:={ninA|n$ è primo$}$ e sia $C:={ninB|n>=7}$. Si calcoli la cardinalità dei seguenti insiemi:
$X:=A\\(BUC)$
$Y:={finA^B|f$ è iniettiva e $Cnnf(B)=O/}$
$Z:={finA^B|f$ è iniettiva e $|Xnnf(B)=3|}$
Soluzione...
$|A|=14$, $|B|=6$, $|C|=3$.
$|X|=|A|-|BUC|=|A|-|B|-|C|+|BnnC|=(15-2+1)-(6)-(3)+(3)=8
$|Y|$ => numero di tutte le funzioni iniettive da $B$(un 6-insieme) in $A\\C$(un 11-insieme) => $((|A|-|C|)!)/((|A|-|C|-|B|)!)=(11!)/((14-3-8)!)=(11!)/(3!)
$|Z|$ => ho provato ma non riesco ...
ciao
Risposte
per il primo, è ok, anche se il procedimento è alquanto cervellotico.
per il secondo, la formula del fattoriale decrescente mi pare porti ad un risultato diverso: $11-6+1=6 != 3$
per il terzo, sono le funzioni iniettive da un 6-insieme a un 14-insieme tali che 3 elementi vadano in un insieme di 8 elementi e 3 elementi in un insieme di 6 elementi. ok?
per il secondo, la formula del fattoriale decrescente mi pare porti ad un risultato diverso: $11-6+1=6 != 3$
per il terzo, sono le funzioni iniettive da un 6-insieme a un 14-insieme tali che 3 elementi vadano in un insieme di 8 elementi e 3 elementi in un insieme di 6 elementi. ok?
"adaBTTLS":
per il primo, è ok, anche se il procedimento è alquanto cervellotico.
per il secondo, la formula del fattoriale decrescente mi pare porti ad un risultato diverso: $11-6+1=6 != 3$
per il terzo, sono le funzioni iniettive da un 6-insieme a un 14-insieme tali che 3 elementi vadano in un insieme di 8 elementi e 3 elementi in un insieme di 6 elementi. ok?
Per il secondo se vado a considerare tutte le funzioni iniettive che non entrano in $C$, la cardinalità di $A$ viene decrementata della cardinalità di $C$ e la formula non sarebbe $(11!)/(11-6)!$. Non capisco perchè tu ottieni $6$ anzichè $5$...
Per il terzo, per la parte che va su $A\\(BUC)$ credo di esserci, ed è uguale a $((6),(3))*((8!)/((8-3)!))$ poi non riesco a focalizzare i rimanenti insiemi. Mi potresti rispiegare?? Grazie!
per il secondo, il fattoriale decrescente $(n)_k=n*(n-1)*...*(n-k+1)$ è il prodotto di $k$ termini a partire da $n$ "a decrescere":
nel tuo caso il primo dei sei elementi può essere fatto corrispondere a 11 elementi, il secondo a 10, ... , il sesto a 6*.
dunque $11*10*9*8*7*6=(11!)/(5!)$
per un motivo analogo, la soluzione del terzo mi pare un po' diversa (o meglio incompleta): $((6),(3))*(8*7*6)*(6*5*4)$
posso aver dimenticato qualcosa. tu intanto ricontrolla. ciao.
*P.S.: scusa, ora ho capito il senso della tua domanda: il 5 che dici tu è giusto, ma non il 3 che hai scritto.
nel tuo caso il primo dei sei elementi può essere fatto corrispondere a 11 elementi, il secondo a 10, ... , il sesto a 6*.
dunque $11*10*9*8*7*6=(11!)/(5!)$
per un motivo analogo, la soluzione del terzo mi pare un po' diversa (o meglio incompleta): $((6),(3))*(8*7*6)*(6*5*4)$
posso aver dimenticato qualcosa. tu intanto ricontrolla. ciao.
*P.S.: scusa, ora ho capito il senso della tua domanda: il 5 che dici tu è giusto, ma non il 3 che hai scritto.
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