[esercizio] base complessi, ker, im e endomorfismo
Considera l'applicazione lineare \(\displaystyle L: \mathbb{C}^4 \rightarrow \mathbb{C}^4 \) in cui la matrice, rispetto alla base canonica è
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \)
a) scrivere una base di \(\displaystyle Ker L \) e \(\displaystyle Imm L \)
b) determinare \(\displaystyle Ker L \cap Imm L \)
c) Dire se esiste un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle L^n\) è l'endomorfismo nullo
2 domande:
1) la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^4 \) qual'è?
la sparo, ma con i complessi ci ho litigato da piccolo quindi non offendete
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\)
la sto rappresentando prendendo \(\displaystyle \mathbb{R} \) come campo... o no? Sono confuso, forse è anche l'ora tarda.
2) endomorfismo nullo significa che il codominio è nullo no? sul terzo punto non so da dove cominciare credo...
Grazie in anticipo!
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \)
a) scrivere una base di \(\displaystyle Ker L \) e \(\displaystyle Imm L \)
b) determinare \(\displaystyle Ker L \cap Imm L \)
c) Dire se esiste un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle L^n\) è l'endomorfismo nullo
2 domande:
1) la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^4 \) qual'è?
la sparo, ma con i complessi ci ho litigato da piccolo quindi non offendete
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\)
la sto rappresentando prendendo \(\displaystyle \mathbb{R} \) come campo... o no? Sono confuso, forse è anche l'ora tarda.
2) endomorfismo nullo significa che il codominio è nullo no? sul terzo punto non so da dove cominciare credo...
Grazie in anticipo!
Risposte
No, quella che hai indicato non è la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{C} \) quanto la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
No. Al massimo è l'immagine ad essere "nulla".
"raker":
2) endomorfismo nullo significa che il codominio è nullo no? [...]
No. Al massimo è l'immagine ad essere "nulla".
"Delirium":
No, quella che hai indicato non è la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{C} \) quanto la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
mhm.. non è quello che ho detto io? il problema qual'è?
non posso usarla per tirar fuori la matrice associata di L?
sull'endomorfismo ci torno dopo.
Oh scusa, non avevo letto bene. Sì, hai ragione. La base canonica su \(\displaystyle \mathbb{C} \) sarà \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
"Delirium":
Oh scusa, non avevo letto bene. Sì, hai ragione. La base canonica su \(\displaystyle \mathbb{C} \) sarà \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
ok perfetto...
quindi se uso ad esempio la base canonica su \(\displaystyle \mathbb{C} \) , la matrice associata è la stessa della matrice sopra no? perchè anche \(\displaystyle i \) è considerato un coefficiente ergo una coordinata.
se invece usassi la base su \(\displaystyle \mathbb{R} \) la matrice associata dovrebbe essere:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&-1\\2&0&1&1&\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \)
"raker":
ok perfetto...
quindi se uso ad esempio la base canonica su \(\displaystyle \mathbb{C} \) , la matrice associata è la stessa della matrice sopra no? perchè anche \(\displaystyle i \) è considerato un coefficiente ergo una coordinata.
Sì.
"raker":
se invece usassi la base su \(\displaystyle \mathbb{R} \) la matrice associata dovrebbe essere:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&-1\\2&0&1&1&\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \)
Su questo invece non sono d'accordo: se vuoi scrivere l'applicazione come morfismo su \(\displaystyle \mathbb{R} \) sia "nel dominio che nel codominio", la sua matrice dovrebbe essere \(\displaystyle 8 \times 8 \). Capisci il perché?
mhm sinceramente non mi viene in mente come potrei scriverla 8x8...
cioè il massimo che ho pensato è scrivere la matrice dividendo parte reale e parte immaginaria per ogni incognita (4+4 colonne) e quindi viene una 4x8 al massimo:
\(\begin{pmatrix} 0&0&0&1&0&0&-1&0\\1&0&0&1&0&1&0&-1\\2&0&0&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)
quindi le prime due colonne sono ad esempio \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) di \(x\), le due seconde \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) di \(y\), e così via...
ma non credo allora sia corretto se devo costruire una matrice \(8 \times 8\)
cioè il massimo che ho pensato è scrivere la matrice dividendo parte reale e parte immaginaria per ogni incognita (4+4 colonne) e quindi viene una 4x8 al massimo:
\(\begin{pmatrix} 0&0&0&1&0&0&-1&0\\1&0&0&1&0&1&0&-1\\2&0&0&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)
quindi le prime due colonne sono ad esempio \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) di \(x\), le due seconde \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) di \(y\), e così via...
ma non credo allora sia corretto se devo costruire una matrice \(8 \times 8\)
up 
Secondo me devi operare sui vettori della "nuova" base canonica (quella che hai scritto tu nel primo post, che indicherò con \(\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7},e_{8} \)) e vedere come l'endomorfismo si comporta contro di essi. Per esempio \(\displaystyle L(e_{1})=e_{2}+2e_{3} \), \(\displaystyle L(e_{2})=e_{6}+2e_{7} \) e avanti così... Capisci cosa intendo? Alla fine andrai ad incolonnare semplicemente le immagini una di fianco all'altra, come di consueto.
No sinceramente non ho capito. La procedura che usi te o non l'ho capita appunto, oppure credo di non averla mai vista... non so come procedere.
Gli esempi che mi hai fatto sono basati sull'esercizio? Sono piuttosto confuso adesso...
Gli esempi che mi hai fatto sono basati sull'esercizio? Sono piuttosto confuso adesso...
Certo che mi sono basato sull'esercizio, non mi metto mica a scrivere esempi a caso.
Si tratta semplicemente di capire come l'endomorfismo si comporta contro una base.
Prendi ogni singolo vettore della base canonica che hai scritto nel tuo primo post e calcolane l'immagine tramite l'applicazione lineare data. Cosa ottieni?
Si tratta semplicemente di capire come l'endomorfismo si comporta contro una base.
Prendi ogni singolo vettore della base canonica che hai scritto nel tuo primo post e calcolane l'immagine tramite l'applicazione lineare data. Cosa ottieni?
Ho capito cosa intendi ma dai tuoi esempi non mi torna...
Ragruppo tutto per avere tutti i dati sottomano:
Matrice
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \)
Base canonica di di \(\mathbb{C} ^4\) su \(\mathbb{R}\)
\(\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{2}=\begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix} \), \(e_{3}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{4}=\begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{5}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(e_{6}=\begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix}\), \(e_{7}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\), \(e_{8}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\)
-----------------------------
Nei tuoi esempi dici che
\(\displaystyle L(e_{1})=e_{2}+2e_{3} \), \(\displaystyle L(e_{2})=e_{6}+2e_{7} \)
ma a me da questi mi risulterebbe una matrice (la comincio):
\(\begin{pmatrix}0&0&...\\1&0&...\\2&0&...\\0&0&...\\0&0&...\\\\0&1&...\\0&2&...\\0&0&...\end{pmatrix}\)
che ha poco a che vedere con l'applicazione lineare, dato che verrebbe una cosa del tipo
\(\begin{pmatrix}i&0&...\\2&0&...\\0&i&...\\0&2&...\end{pmatrix}\)
-----------------------------
A me invece torna così
\(\displaystyle L(e_{1})=e_{3}+2e_{5} \), \(\displaystyle L(e_{2})=e_{2}+e_{4}+e_{7} \), \(L(e_{3})=e_{4}+e_{5}\), \(L(e_{4})=-e_{1}-e_{4}+e_{5}+e_{8}\)
da cui la matrice scritta qualche post fa:
\(\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&-1\\2&0&1&1&\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)
Non capisco come farebbe a venire una matrice \(8\times8\) quando abbiamo solo 4 equazioni...
Fammi vedere come la faresti te e magari capisco cosa mi stai chiedendo (se non è quello che ho scritto adesso) e dove sbaglio
edit:
Dimenticavo di ringraziarti per il tempo che mi stai dedicando!!
Ragruppo tutto per avere tutti i dati sottomano:
Matrice
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \)
Base canonica di di \(\mathbb{C} ^4\) su \(\mathbb{R}\)
\(\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{2}=\begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix} \), \(e_{3}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{4}=\begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix}\), \(e_{5}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(e_{6}=\begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix}\), \(e_{7}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\), \(e_{8}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\)
-----------------------------
Nei tuoi esempi dici che
\(\displaystyle L(e_{1})=e_{2}+2e_{3} \), \(\displaystyle L(e_{2})=e_{6}+2e_{7} \)
ma a me da questi mi risulterebbe una matrice (la comincio):
\(\begin{pmatrix}0&0&...\\1&0&...\\2&0&...\\0&0&...\\0&0&...\\\\0&1&...\\0&2&...\\0&0&...\end{pmatrix}\)
che ha poco a che vedere con l'applicazione lineare, dato che verrebbe una cosa del tipo
\(\begin{pmatrix}i&0&...\\2&0&...\\0&i&...\\0&2&...\end{pmatrix}\)
-----------------------------
A me invece torna così
\(\displaystyle L(e_{1})=e_{3}+2e_{5} \), \(\displaystyle L(e_{2})=e_{2}+e_{4}+e_{7} \), \(L(e_{3})=e_{4}+e_{5}\), \(L(e_{4})=-e_{1}-e_{4}+e_{5}+e_{8}\)
da cui la matrice scritta qualche post fa:
\(\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&-1\\2&0&1&1&\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)
Non capisco come farebbe a venire una matrice \(8\times8\) quando abbiamo solo 4 equazioni...
Fammi vedere come la faresti te e magari capisco cosa mi stai chiedendo (se non è quello che ho scritto adesso) e dove sbaglio
edit:
Dimenticavo di ringraziarti per il tempo che mi stai dedicando!!
Hai ragione nel dire che il mio esempio non torna: infatti io avevo mentalmente riordinato la base come segue
\[\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, e_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, e_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, e_{4}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}, e_{5}=\begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix}, e_{6}=\begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix}, e_{7}=\begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix}, e_{8}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\]
In realtà io l'ho sempre vista scritta così, quindi non ho prestato troppa attenzione alla tua scrittura. Ad ogni modo ora l'equivoco dovrebbe esser stato chiarito.
Ora, abbiamo la seguente applicazione lineare:
... e vogliamo costruire la matrice della stessa applicazione lineare utilizzando \(\displaystyle \mathbb{R} \) come campo. I vettori di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \) avranno \(\displaystyle 8 \) coordinate, quindi non ha senso scrivere una matrice rettangolare, giacché l'applicazione lineare è un endomorfismo.
La strada che vedo è quella di calcolare ogni singolo vettore della base canonica (non solo quelli a entrate reali!) contro la nostra applicazione. Il primo sarà \[\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\dots +0\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ i \end{pmatrix} \] che nella "nuova notazione" corrisponde a \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}=e_{2}+2e_{3} \]
Le coordinate delle immagini così ottenute "messe l'una di fianco all'altra" forniranno la matrice cercata.
\[\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, e_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, e_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, e_{4}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}, e_{5}=\begin{pmatrix}i\\0\\0\\0\end{pmatrix}, e_{6}=\begin{pmatrix}0\\i\\0\\0\end{pmatrix}, e_{7}=\begin{pmatrix}0\\0\\i\\0\end{pmatrix}, e_{8}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\i\end{pmatrix}\]
In realtà io l'ho sempre vista scritta così, quindi non ho prestato troppa attenzione alla tua scrittura. Ad ogni modo ora l'equivoco dovrebbe esser stato chiarito.
Ora, abbiamo la seguente applicazione lineare:
"raker":
\[\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \]
... e vogliamo costruire la matrice della stessa applicazione lineare utilizzando \(\displaystyle \mathbb{R} \) come campo. I vettori di \(\displaystyle \mathbb{C}^{4} \) su \(\displaystyle \mathbb{R} \) avranno \(\displaystyle 8 \) coordinate, quindi non ha senso scrivere una matrice rettangolare, giacché l'applicazione lineare è un endomorfismo.
La strada che vedo è quella di calcolare ogni singolo vettore della base canonica (non solo quelli a entrate reali!) contro la nostra applicazione. Il primo sarà \[\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\dots +0\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ i \end{pmatrix} \] che nella "nuova notazione" corrisponde a \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}=e_{2}+2e_{3} \]
Le coordinate delle immagini così ottenute "messe l'una di fianco all'altra" forniranno la matrice cercata.
"raker":
Dimenticavo di ringraziarti per il tempo che mi stai dedicando!!
Di nulla. Mi scuso se sono stato un po' impreciso, ma in questo periodo sono anch'io un po' preso. Faccio quel che posso.
Eccoci! Ora mi torna tutto, finalmente! 
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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