Esercizio applicazioni lineari , base, ker
Salve a tutti...Mi sono appena iscritto per chiedere aiuto su alcune questioni che per me sono incomprensibili e spero di migliorare con il vostro aiuto...Ho vari problemi da porre...Tra cui...
ESERCIZIO 1
Si consideri l'applicazione lineare L: R^4 ----> R^3
$ | ( z1 ),( z2 ),( z3 ),( z4 ) | ---->( ( 1 , -2 , -1 , 3 ),( -1, 1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 4 , 3 ) ) . | ( z1 ),( z2 ),( z3 ),( z4 ) | $
Si determini una base di Ker L, si completi la base trovata ad una base di R^4, si verifichi che le immagini dei vettori che sono stati aggiunti per effettuare tale completamento costituiscono una base dell'immagine di L
La base di Ker L si ottiene risolvendo il sistema lineare come un sistema omogeneo e trovando i paramentri. A me viene:
z1=3t1-t2
z2=t1+t2
z3=t1
z4=t2
Da cui ker = $ | ( 3 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) || ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) | $
Per completarlo ad una base di R^4 aggiungo i vettori della base canonica
$ | ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) || ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) | $
Fino a qui è giusto? Penso di si...
Poi devo trovare l'immagine di L che mi viene $ | ( 1 ),( 0 ),( 0 )|| ( -2 ),( -1 ),( 0 )| $
Mi viene cosi perchè risolvo la matrice di partenza con eliminazione di gauss fino a farmela venire di tipo a scala...
Il problema è che mi viene chiesto di verificare che le immagini dei vettori che sono stati aggiunti per effettuare tale completamento costituiscono una base dell'immagine di L...Ma visto che immagine di L è in R^3 e i vettori che ho aggiunto sono in R^4 come faccio a verificare ciò??? Dove sbaglio? Grazie
ESERCIZIO 1
Si consideri l'applicazione lineare L: R^4 ----> R^3
$ | ( z1 ),( z2 ),( z3 ),( z4 ) | ---->( ( 1 , -2 , -1 , 3 ),( -1, 1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 4 , 3 ) ) . | ( z1 ),( z2 ),( z3 ),( z4 ) | $
Si determini una base di Ker L, si completi la base trovata ad una base di R^4, si verifichi che le immagini dei vettori che sono stati aggiunti per effettuare tale completamento costituiscono una base dell'immagine di L
La base di Ker L si ottiene risolvendo il sistema lineare come un sistema omogeneo e trovando i paramentri. A me viene:
z1=3t1-t2
z2=t1+t2
z3=t1
z4=t2
Da cui ker = $ | ( 3 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) || ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) | $
Per completarlo ad una base di R^4 aggiungo i vettori della base canonica
$ | ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) || ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) | $
Fino a qui è giusto? Penso di si...
Poi devo trovare l'immagine di L che mi viene $ | ( 1 ),( 0 ),( 0 )|| ( -2 ),( -1 ),( 0 )| $
Mi viene cosi perchè risolvo la matrice di partenza con eliminazione di gauss fino a farmela venire di tipo a scala...
Il problema è che mi viene chiesto di verificare che le immagini dei vettori che sono stati aggiunti per effettuare tale completamento costituiscono una base dell'immagine di L...Ma visto che immagine di L è in R^3 e i vettori che ho aggiunto sono in R^4 come faccio a verificare ciò??? Dove sbaglio? Grazie
Risposte
Premetto che non ho controllato i conti. Il procedimento però sembra giusto.
E infatti tu devi controllare che le immagini di $v_1=(( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ))$ e $v_2=(( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ))$ costituiscono una base dell'immagine dell'applicazione e non $v_1$ e $v_2$.
In sostanza, ciò che devi fare è calcolare $L(v_1)$ e $L(v_2)$ e verificare che questi due vettori costituiscono una base di $"Im"(L)$.
Per le prossime volte, se puoi, cerca di scrivere sempre con le formule e non solo quando devi rappresentare le matrici.
A proposito, benvenuto
"scarface_90":
Per completarlo ad una base di R^4 aggiungo i vettori della base canonica
$ | ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) || ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) | $
[...]
Il problema è che mi viene chiesto di verificare che le immagini dei vettori che sono stati aggiunti per effettuare tale completamento costituiscono una base dell'immagine di L...Ma visto che immagine di L è in R^3 e i vettori che ho aggiunto sono in R^4 come faccio a verificare ciò??? Dove sbaglio? Grazie
E infatti tu devi controllare che le immagini di $v_1=(( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ))$ e $v_2=(( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ))$ costituiscono una base dell'immagine dell'applicazione e non $v_1$ e $v_2$.
In sostanza, ciò che devi fare è calcolare $L(v_1)$ e $L(v_2)$ e verificare che questi due vettori costituiscono una base di $"Im"(L)$.
Per le prossime volte, se puoi, cerca di scrivere sempre con le formule e non solo quando devi rappresentare le matrici.
A proposito, benvenuto
Grazie del benvenuto e dell'aiuto. Spero di riuscire a usare bene la scrittura delle formule
Comunque mi calcolo $L(v1)$ e $ L(v2) $ moltiplicando la matrice "grande" per il vettore | ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) | e poi per il vettore | ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) |
ottenendo rispettivamente | ( 1 ),( -1 ),( -1 ) | e | ( -2 ),( 1 ),( -1)| che sono proprio una base di $Im(L)$
Dovrebbe essere giusto, vero?
Comunque mi calcolo $L(v1)$ e $ L(v2) $ moltiplicando la matrice "grande" per il vettore | ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) | e poi per il vettore | ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) |
ottenendo rispettivamente | ( 1 ),( -1 ),( -1 ) | e | ( -2 ),( 1 ),( -1)| che sono proprio una base di $Im(L)$
Dovrebbe essere giusto, vero?
Sì, era quello che intendevo.
Comunque ho controllato i conti. Il vettore $((-1),(1),(0),(1))$ non è nel nucleo. Quindi quella che hai mostrato prima non è una base di $ker L$.
Inoltre, nessuno dei due vettori $((1),(0),(0))$, $((-2),(-1),(0))$ appartiene all'immagine di $L$. Quindi non formano una base di $Im L$
Comunque ho controllato i conti. Il vettore $((-1),(1),(0),(1))$ non è nel nucleo. Quindi quella che hai mostrato prima non è una base di $ker L$.
Inoltre, nessuno dei due vettori $((1),(0),(0))$, $((-2),(-1),(0))$ appartiene all'immagine di $L$. Quindi non formano una base di $Im L$
Scusa ma non ho ben capito quello che ho sbagliato...
Il ker all'inizio e il suo completamento in R^4 sono giusti?
Il ker all'inizio e il suo completamento in R^4 sono giusti?
"scarface_90":
...
Da cui ker = $ | ( 3 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) || ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) | $
...
Questa frase è sbagliata. Il secondo vettore non è nel nucleo (puoi verificarlo anche tu, calcolando $( ( 1 , -2 , -1 , 3 ),( -1, 1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 4 , 3 ) )( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$ e verificando che è diverso da zero).
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