Esercizio applicazioni lineari
Ciao a tutti, sto tentando di risolvere l'esercizio di un esame, e volevo chiedervi pareri sul mio svolgimento. Il testo è questo:
Considerare l'applicazione lineare $h$ che manda il gattino con tratto continuo in quello tratteggiato:
Si assuma che i punti A, B e C abbiano le coordinate intere indicate dal disegno e che $h(A)=(-5, 0)$ e $h(B)=(-19/3, -11/3)$.
[list=a][*:1q9tiq09]Stabilire se sia possibile calcolare le coordinate di $h(C)$, ed in caso di risposta affermativa le si determinino.[/*:m:1q9tiq09]
[*:1q9tiq09]Stabilire se, conoscendo le coordinate di $h(B)$ e $h(C)$, sia possibile calcolare le coordinate di $h(A)$.[/*:m:1q9tiq09]
[*:1q9tiq09]Si determini un'applicazione lineare $f:RR^2 \to RR^2$, scrivendone la matrice associata rispetto alle basi canoniche o determinandone l'immagine di una base, tale che l'immagine del gattino tramite $foh$ ($o$ = "dopo", funzione composta) sia contenuta nel semipiano ${(x,y):y<=0}$.[/*:m:1q9tiq09][/list:o:1q9tiq09]
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Il punto a l'ho svolto ricavando innanzitutto un generico vettore $(x,y)$ come combinazione lineare dei punti $A=(3,3)$ e $B=(6,2)$, che sono gli unici due vettori di cui conosciamo l'immagine:
$((x),(y))=a((3),(3))+b((6),(2))$, da cui trovo che $a=-1/6x+1/2y$ e $b=1/4x-1/4y$, che vanno applicati alle immagini dei rispettivi vettori:
$h((x),(y))=a((-5),(0))+b((-19/3),(-11/3))$
Sostituendo a e b ed effettuando le dovute operazioni, trovo che l'applicazione lineare è:
$h(x,y)=(-9/12x-11/12y ; -11/12x+11/12y)$
Ora che conosco $h$ posso determinare le coordinate di $h(C)$, sapendo che $C=(9,3)$.
$h(9,3)=(-19/2 ; -11/2)$
La risposta del punto b è: sì, è possibile calcolare le coordinate di h(A), infatti se h è noto basta sostituire le coordinate (x,y) con quelle del punto A, se però h non è noto bisogna calcolarlo con lo stesso procedimento del punto a, attraverso le coordinate dei punti B e C.
Il punto c è quello che invece mi lascia dubbi... lo scopo è trovare un'altra applicazione lineare $f$, che va applicata dopo $h$, che trasli l'immagine del gattino sotto l'asse y. Ho pensato che questa applicazione si possa ricavare partendo semplicemente dal fatto che, ad esempio, spostando la coordinata y di ogni punto di -5 unità l'immagine sia contenuta completamente nel semipiano $y<=0$. Quindi la funzione potrebbe essere di questo tipo:
$f(x,y)=(x,y-5)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche in questo caso sarebbe: $[[1,0],[-5,-4]]$.
Ha senso questa soluzione?
Considerare l'applicazione lineare $h$ che manda il gattino con tratto continuo in quello tratteggiato:
Si assuma che i punti A, B e C abbiano le coordinate intere indicate dal disegno e che $h(A)=(-5, 0)$ e $h(B)=(-19/3, -11/3)$.
[list=a][*:1q9tiq09]Stabilire se sia possibile calcolare le coordinate di $h(C)$, ed in caso di risposta affermativa le si determinino.[/*:m:1q9tiq09]
[*:1q9tiq09]Stabilire se, conoscendo le coordinate di $h(B)$ e $h(C)$, sia possibile calcolare le coordinate di $h(A)$.[/*:m:1q9tiq09]
[*:1q9tiq09]Si determini un'applicazione lineare $f:RR^2 \to RR^2$, scrivendone la matrice associata rispetto alle basi canoniche o determinandone l'immagine di una base, tale che l'immagine del gattino tramite $foh$ ($o$ = "dopo", funzione composta) sia contenuta nel semipiano ${(x,y):y<=0}$.[/*:m:1q9tiq09][/list:o:1q9tiq09]
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Il punto a l'ho svolto ricavando innanzitutto un generico vettore $(x,y)$ come combinazione lineare dei punti $A=(3,3)$ e $B=(6,2)$, che sono gli unici due vettori di cui conosciamo l'immagine:
$((x),(y))=a((3),(3))+b((6),(2))$, da cui trovo che $a=-1/6x+1/2y$ e $b=1/4x-1/4y$, che vanno applicati alle immagini dei rispettivi vettori:
$h((x),(y))=a((-5),(0))+b((-19/3),(-11/3))$
Sostituendo a e b ed effettuando le dovute operazioni, trovo che l'applicazione lineare è:
$h(x,y)=(-9/12x-11/12y ; -11/12x+11/12y)$
Ora che conosco $h$ posso determinare le coordinate di $h(C)$, sapendo che $C=(9,3)$.
$h(9,3)=(-19/2 ; -11/2)$
La risposta del punto b è: sì, è possibile calcolare le coordinate di h(A), infatti se h è noto basta sostituire le coordinate (x,y) con quelle del punto A, se però h non è noto bisogna calcolarlo con lo stesso procedimento del punto a, attraverso le coordinate dei punti B e C.
Il punto c è quello che invece mi lascia dubbi... lo scopo è trovare un'altra applicazione lineare $f$, che va applicata dopo $h$, che trasli l'immagine del gattino sotto l'asse y. Ho pensato che questa applicazione si possa ricavare partendo semplicemente dal fatto che, ad esempio, spostando la coordinata y di ogni punto di -5 unità l'immagine sia contenuta completamente nel semipiano $y<=0$. Quindi la funzione potrebbe essere di questo tipo:
$f(x,y)=(x,y-5)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche in questo caso sarebbe: $[[1,0],[-5,-4]]$.
Ha senso questa soluzione?
Risposte
Il problema è che quella $f$ lì non è lineare.
Potresti provare a prendere $f$ una particolare rotazione di centro $O$...
Potresti provare a prendere $f$ una particolare rotazione di centro $O$...
Ah quindi dici che un esempio di applicazione lineare che possa andare bene sia una che faccia ruotare l'immagine di 90° in senso antiorario?
Esatto. La matrice associata a tale rotazione è facile da scriversi.
La matrice se non sbaglio dovrebbe essere
$[[1,0,0] ,[0,0,-1], [0,1,0]] $
L'omomorfismo provo a calcolarlo domani e poi posto la mia soluzione.
Intanto grazie per i suggerimenti
$[[1,0,0] ,[0,0,-1], [0,1,0]] $
L'omomorfismo provo a calcolarlo domani e poi posto la mia soluzione.
Intanto grazie per i suggerimenti
Di niente... Ma come fa ad essere una matrice $3 \times 3$ se $f$ è un endomorfismo dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^2$ - il quale ha dimensione 2?
Che scema non ci ho pensato 
quindi la matrice è $[[cos\theta, -sen\theta ], [sen \theta, cos \theta ]] $?
quindi la matrice è $[[cos\theta, -sen\theta ], [sen \theta, cos \theta ]] $?
Sì, con $\theta = \pi/2$.
Ok, quindi se non ho più fatto errori la soluzione è questa.
Come abbiamo detto, $f$ sarà l'omomorfismo che ruota l'immagine tratteggiata del gattino di 90° in senso antiorario, quindi per determinarlo troviamo la matrice associata alla rotazione di $\pi/2$, che è: $A=[[0,-1],[1,0]]$
Quindi determino le immagini di $f$ rispetto alle basi canoniche, in modo da poter trovare l'applicazione lineare come combinazione lineare di queste immagini:
$f((1),(0))=A*((1),(0))=((0),(1))$
$f((0),(1))=A*((0),(1))=((-1),(0))$
(La matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche sarà proprio $[[0,-1],[1,0]]$)
$((x),(y))=a((1),(0))+b((0),(1))$ ---> $a=x, b=y$
$f((x),(y))=a((0),(1))+b((-1),(0)) = (-y, x)$
Come abbiamo detto, $f$ sarà l'omomorfismo che ruota l'immagine tratteggiata del gattino di 90° in senso antiorario, quindi per determinarlo troviamo la matrice associata alla rotazione di $\pi/2$, che è: $A=[[0,-1],[1,0]]$
Quindi determino le immagini di $f$ rispetto alle basi canoniche, in modo da poter trovare l'applicazione lineare come combinazione lineare di queste immagini:
$f((1),(0))=A*((1),(0))=((0),(1))$
$f((0),(1))=A*((0),(1))=((-1),(0))$
(La matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche sarà proprio $[[0,-1],[1,0]]$)
$((x),(y))=a((1),(0))+b((0),(1))$ ---> $a=x, b=y$
$f((x),(y))=a((0),(1))+b((-1),(0)) = (-y, x)$
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