Esercizio applicazione lineare troppo stupido per essere vero
Bungiorno, ho un esercizio tratto da una qualche prova d'esame che però mi sembra troppo facile e da qui il sospetto di star sbagliando tutto.
L'esercizio è questo:
Verificare in dipendenza da k l'esistenza e unicità dell'applicazione lineare R4--> R3 siffatta:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 3 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( k ),( 0 ) ) in Ker(f) $ e
$ f( ( 1 ),( k ),( 1 ),( 3k ) )= f( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) = ((k),(0),(k)) $
Tutto quello che ho fatto è stato mettere in una matrice i 4 vettori $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 3 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( k ),( 0 ) ) , ( ( 1 ),( k ),( 1 ),( 3k ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e vedere quanto sono linearmente indipendenti, vale a dire quando il determinante è diverso da zero.
Ho trovato due valori di k (per la cronaca sono 0 e 3/2) e fine della fiera...
Possibile che sia così semplice?
A cosa serviva allora dirmi che due di loro vanno a zero mentre gli altri vanno in (k,0,k)?
Grazie per le risposte..
ciao.
L'esercizio è questo:
Verificare in dipendenza da k l'esistenza e unicità dell'applicazione lineare R4--> R3 siffatta:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 3 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( k ),( 0 ) ) in Ker(f) $ e
$ f( ( 1 ),( k ),( 1 ),( 3k ) )= f( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) = ((k),(0),(k)) $
Tutto quello che ho fatto è stato mettere in una matrice i 4 vettori $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 3 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( k ),( 0 ) ) , ( ( 1 ),( k ),( 1 ),( 3k ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e vedere quanto sono linearmente indipendenti, vale a dire quando il determinante è diverso da zero.
Ho trovato due valori di k (per la cronaca sono 0 e 3/2) e fine della fiera...
Possibile che sia così semplice?
A cosa serviva allora dirmi che due di loro vanno a zero mentre gli altri vanno in (k,0,k)?
Grazie per le risposte..
ciao.
Risposte
"pollo93":
A cosa serviva allora dirmi che due di loro vanno a zero mentre gli altri vanno in (k,0,k)?
Anche io avrei fatto come te. Ma tu perche' hai cercato l'indipendenza lineare di quei quattro vettori?...
Il risultato* che mi pare ti voglia far usare l'esercizio e' il seguente
Teorema: sia \( V \) un \( \mathbb{K} \) spazio vettoriale, e sia \( \mathcal{A} = \{ a_1, \ldots, a_t \} \subset V \) una sua base, e siano scelti in \( W \) --un altro \( \mathbb{K} \)-spazio vettoriale-- \( t \) vettori qualsiasi. Allora esiste ed e' unica l'applicazione lineare \( T : V \to W \) che mappa l'\( i \)-esimo vettore della base \( \mathcal{A} \) nel corrispondente \( i \)-esimo vettore del set \( \mathcal{B} \).
Ti prego di notare che \( \mathcal{B} \) non e' una base per \( W \).
In soldoni: presa una base, e fissato il modo in cui la base viene mappata nello spazio di arrivo, hai determinato (ed in modo univoco) un'applicazione lineare.
Allora si che e' un'idea ragionata quella di verificare l'indipendenza lineare di quei quattro vettori. Se il set e' libero infatti, questo fa da base per \( \mathbb{R}^4 \) --che e' notoriamente uno spazio di dimensione \( 4 \) **. Allora, due sono nel kernel dell'applicazione (quindi ne conosci l'immagine, che e' lo \( 0_W \)), e di altri due l'immagine te la fornisce esplicitamente lui. Quindi usi il risultato del teorema sopra.
___
* Per dimostrarlo puoi partire dall'unicita e verificare che un'altra applicazione lineare \( \tilde{T} \) si comporta in modo identico a \( T \) su un generico vettore di \( V \) --i.e. e' la stessa \( T \). Per l'esistenza, devi definire \( T \) in modo da costruire la linearita' dall'esterno --da' un'occhiata a un qualsiasi testo.
** Basta pensare alla base canonica
\[ \{ \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_4 \} , \qquad \mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \; \forall{i} = 1, \ldots, 4 \]
di \( \mathbb{R}^4 \) per saperlo immediatamente.
Ok, io mi sono basato sullo stesso teorema, in particolare su questa indicazione trovata su qualche forum:
Se ho capito bene, la parte che ho messo in grassetto è in altre parole il motivo per cui mi ha dato delle indicazioni sull'insieme di arrivo dei miei 4 vettori.
Senza sapere dove andavano a finire non avrei potuto sfruttare il teorema che hai citato tu, nè ovviamente l'indicazione che ho citato io tratta dal medesimo teorema.
Is that correct?
Per vedere se esiste un'applicazione lineare che associa ai vettori assegnati i vettori che ne costituirebbero le immagini, bisogna verificare che i vettori su cui si applica l'applicazione sono linearmente indipendenti. Se sì, allora esiste; se no, bisogna procedere in un altro modo.
Se ho capito bene, la parte che ho messo in grassetto è in altre parole il motivo per cui mi ha dato delle indicazioni sull'insieme di arrivo dei miei 4 vettori.
Senza sapere dove andavano a finire non avrei potuto sfruttare il teorema che hai citato tu, nè ovviamente l'indicazione che ho citato io tratta dal medesimo teorema.
Is that correct?
... si, e' la stessa cosa che ho scritto sopra. Solamente che nell'indicazione che hai trovato su qualche forum non si fa alcun cenno al motivo per cui quella procedura funzioni --il che e' terribile (perche' mi ricorda le peggiori esperienze che ho avuto con la matematica: quando non c'e' il tempo di giustificarei risultati teorici e gli esercizi si fanno in modo standard).
Buon proseguimento!, ciao!
Buon proseguimento!, ciao!
Lo so hai ragione...per questo esame sto badando pochissimo alla teoria, ma non ne avrei davvero il tempo e la forza!
Comunque grazie mille, gentilissimo!
Ciao..
Comunque grazie mille, gentilissimo!
Ciao..
[ot]
Il periodo e' brutto, in effetti. Va be', accendi il ventilatore e coraggio[/ot]
"pollo93":
ma non ne avrei davvero [...] la forza!
Il periodo e' brutto, in effetti. Va be', accendi il ventilatore e coraggio
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