Esercizio: Applicazione Lineare Definita

[nikecatania951]

Salve a tutti, sto avendo un problema con il testo di un compito che ha assegnato il mio professore di Algebra Lineare & Geometria:

Siano Assegnati i seguenti vettori $\mathbb{R^3}$,$ v1=(1,0,1)$,$v2=(1,1,1)$,$v3=(0,1,1)$.
Sia $f:$ $\mathbb{R^3} -> \mathbb{R^3}$ l'applicazione lineare definita, al variare del parametro reale h, mediante le assegnazioni
$ f(v1)=(h,0,h)$
$ f(v2)=(h^2-4)v1+hv2$
$f(v3)=(h+2)^2 v2+hv3$
1) studiare $f$ al variare del parametro, determinando in particolare le dimensioni ed una base di $kerf$ e $Im f$
2) Nel caso $h=0$ determinare le equazioni cartediane di $Imf$ e $Kerf$. Dire se $Imf+Kerf$ è una somma diretta
3) Studiare la semplicità di f al variare del parametro h. Determinare quando possibile una base di autovettori.
4) Nel caso di $h=0$, calcolare $f^-1(1,0,1)$ e $ f^-1(0,1,1)$.

Non riesco, o comunque mi imbatto in una serie di passaggi infiniti.
Spero che mi aiutate, grazie mille in anticipo.

[Vicia]

In che senso passaggi infiniti?
Per il primo basta studiare il rango della matrice associata in funzione di h e discutere i vari casi. Come l'hai risolto tu? Spiega i vari passaggi o una tua idea di come lo risolveresti