Esercizio applicazione lineare

[AlyAly2]

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
si consideri l'applicazione lineare $ f: RR ^(4)rarr RR ^(3) $ definita da
$ { ( f(e1)=f1-f2+2f3 ),(f(e2)=f1+f3 ),(f(e3)=f1-2f2 ),(f(e4)=f2-f3 ):} $
dove $ (e1,e2,e3,e4 ) $ indica la base canonica di $ RR ^(4) $ e $ ( f1,f2,f3 ) $ la base canonica di $ RR ^(3) $
devo determinare una base per il sottospazio controimmagine $ f^(-1)(K) $ con
$ K={(y1,y2,y3) in RR ^(3) | y1+y2=2y2+y3=0} $

avevo scritto la matrice associata all'applicazione lineare:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , -2 , 1 ),( 2 , 1 , 0 , -1 ) ) $
ma non so se possa servire...qualcuno mi potrebbe spiegare come devo procedere?

[klarence1]

Imponi che il vettore generico di $RR^4$ che chiamiamo $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ sia tale che $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a_1,a_2,a_3) in K$.

[AlyAly2]

grazie della risposta però non mi è molto chiaro come impostare i calcoli...
devo prendere come y1,y2 e y3 le tre righe della matrice?perchè così facendo i calcoli non mi tornano...

[klarence1]

"AlyAly":grazie della risposta però non mi è molto chiaro come impostare i calcoli...
devo prendere come y1,y2 e y3 le tre righe della matrice?perchè così facendo i calcoli non mi tornano...

Dato $K$ un sottospazio di $RR^3$ si ha che $vec x in f^(-1) (K) <=> f(x) in K$

Prendi quindi un vettore generico che chiamiamo $(x_1,x_2,x_3,x_4)=x$, la sua immagine, data $A$ la matrice di $f$ che tu hai costruito, sarà $f(x)=A*x$ e per comodità chiamiamo $A*x=(a_1,a_2,a_3)$ (il vettore immagine avrà 3 componenti poichè appartiene a $RR^3$).

Ora dato $ K={(y1,y2,y3) in RR ^(3) | y1+y2=2y2+y3=0} $ devi imporre che $f(x)=(a_1,a_2,a_3) in K-> a_1+a_2=2a_2+a_3=0$. Chiaramente $a_1,a_2,a_3$, per come le hai ottenute, saranno in funzione di $x_1,x_2,x_3,x_4$... e da qui otterrai $f^(-1) (K)$.

[AlyAly2]

Quindi a1=x1+x2+x3
a2=-x1-2x3+x4
a3=2x1+x2-x4 ???

[klarence1]

"AlyAly":Quindi a1=x1+x2+x3
a2=-x1-2x3+x4
a3=2x1+x2-x4 ???

Si.

[AlyAly2]

allora dovrei avere x2-x3+x4=0
e x2-4x3+x4=0
quindi una base di $ f^(-1)(K)=$ L((0,1,-1,1)(0, 1, -4, 1))
ma le soluzioni mi danno L((1,0,0,0)(0,1,0,-1)) ...

[klarence1]

"AlyAly":allora dovrei avere x2-x3+x4=0
e x2-4x3+x4=0

Fin qui è giusto, poi devi aver fatto qualche errore perchè a me viene il risultato giusto.

[AlyAly2]

non riesco a trovare l'errore...mi potresti postare solo qualche calcolo?non c'è bisogno tutti...

[klarence1]

"AlyAly":non riesco a trovare l'errore...mi potresti postare solo qualche calcolo?non c'è bisogno tutti...

Sottraendo la prima equazione con la seconda ricavi $3x_3=0->x_3=0$, ora $x_1$ non compare quindi sta per fatti suoi... quindi le equazioni che rimangono sono 2 equazioni uguali, cioè $x_2+x_4=0$... da qui puoi fare il resto.

[AlyAly2]

ok, ho capito!! grazie mille!!!