Esercizio Applicazione Lineare
Salve ragazzi
ho un dubbio sul seguente esercizio ^_^
Si dica se esiste una funzione lineare $T$ da $ RR^{3} $ in sè tale che $(1,0,0)+<(1,1,0)>$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$ e $(2,1,1)$ sia l'autovettore relativo all'autovalore $1$. In caso di risposta affermativa, si dica se è unica; e se sì, se ne determini la matrice (rispetto alla base canonica).
In particolare la condizione sull'autovettore mi dice che
$T(2,1,1) = (2,1,1)$
Invece la condizione sulla controimmagine come posso sfruttarla?
Io so che $T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$ e sfruttando le proprietà di linearità
$(1,0,0) = T(1,0,0) + T(<1,1,0)>)$
ma cos'altro poteri concludere?
ho un dubbio sul seguente esercizio ^_^
Si dica se esiste una funzione lineare $T$ da $ RR^{3} $ in sè tale che $(1,0,0)+<(1,1,0)>$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$ e $(2,1,1)$ sia l'autovettore relativo all'autovalore $1$. In caso di risposta affermativa, si dica se è unica; e se sì, se ne determini la matrice (rispetto alla base canonica).
In particolare la condizione sull'autovettore mi dice che
$T(2,1,1) = (2,1,1)$
Invece la condizione sulla controimmagine come posso sfruttarla?
Io so che $T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$ e sfruttando le proprietà di linearità
$(1,0,0) = T(1,0,0) + T(<1,1,0)>)$
ma cos'altro poteri concludere?
Risposte
Ciao 
, considera questo bel teorema molto spesso dimenticato:
Quindi, alla luce di ciò, cosa ti serve per poter dire che l'applicazione lineare $T$ esiste ed è unica; ovvero in quale circostanza vale il teorema di esistenza e unicità dell'applicazione lineare?
, considera questo bel teorema molto spesso dimenticato:Siano $V, W $, spazi vettoriali, $mathcalB={v_1,...,v_n}$, base di $V$ e $w_1,...,w_n in W$.
Il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari afferma che
$EE ! f: V->W$ tale che
$f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, …, f(v_n)=w_n$
Il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari afferma che
$EE ! f: V->W$ tale che
$f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, …, f(v_n)=w_n$
Quindi, alla luce di ciò, cosa ti serve per poter dire che l'applicazione lineare $T$ esiste ed è unica; ovvero in quale circostanza vale il teorema di esistenza e unicità dell'applicazione lineare?
Si ricordavo il teorema di esistenza e unicità
il fatto è che non riesco a sfruttare l'informazione sulla controimmagine.
O meglio
mi rendo conto che i tre vettori $(2,1,1)$ , $(1,0,0)$ e $(1,1,0)$ costituiscono una base del mio spazio di partenza.
Ma dei 3 conosco solo l'immagine di $(2,1,1)$ tramite T.
La condizione $(1,0,0) = T(1,0,0) + T(<1,1,0)>)$
Potrebbe anche essere verificata ad esempio mandando $(<1,1,0)>)$ in $(1,0,0)$
e conseguentemente $(1,0,0)$ avrebbe come immagine $(0,0,0)$
Ma potrei anche associarli diversamente, e qui il ragionamento non mi torna piu' XD
il fatto è che non riesco a sfruttare l'informazione sulla controimmagine.
O meglio
mi rendo conto che i tre vettori $(2,1,1)$ , $(1,0,0)$ e $(1,1,0)$ costituiscono una base del mio spazio di partenza.
Ma dei 3 conosco solo l'immagine di $(2,1,1)$ tramite T.
La condizione $(1,0,0) = T(1,0,0) + T(<1,1,0)>)$
Potrebbe anche essere verificata ad esempio mandando $(<1,1,0)>)$ in $(1,0,0)$
e conseguentemente $(1,0,0)$ avrebbe come immagine $(0,0,0)$
Ma potrei anche associarli diversamente, e qui il ragionamento non mi torna piu' XD
"M.C.D.":
$(1,0,0),(1,1,0)$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$
È giusta la correzione? Oppure ho interpreto male?
"Magma":
[quote="M.C.D."]
$(1,0,0),(1,1,0)$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$
È giusta la correzione? Oppure ho interpreto male?[/quote]
l'esercizio recita proprio: $ (1,0,0)+ <(1,1,0)> $ sia la controimmagine di $ (1,0,0) $
Perfetto, però non mi è chiaro cosa sia l'operatore $< \cdot >$
"M.C.D.":$ <(1,1,0)> $
"Magma":[/quote]
Perfetto, però non mi è chiaro cosa sia l'operatore $< \cdot >$
[quote="M.C.D."]$ <(1,1,0)> $
Intende il sottospazio generato dal vettore $(1,1,0)$, quindi tutti i suoi multipli
"M.C.D.":
Io so che $T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$
La controimmagine appartiene al dominio, quindi
$T(((1),(0),(0))+<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0))$
sapendo che è lineare
$T(((1),(0),(0)))+T(<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0))$
cioè, è un modo antipatico per dire che ${((1),(1),(0))}$ è una base del $ker(T)$
"Magma":
[quote="M.C.D."]
Io so che $T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$
$T(((1),(0),(0)))+T(<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0))$
[/quote]
e qui che mi perdo
come mai questa relazione ti permette di concludere necessariamente che $T(1,1,0) = (0,0,0)$
o meglio chi mi dice che l'immagine di $(1,0,0)$ sia proprio $(1,0,0)$?
Non potrebbe essere $T(1,1,0) = $ che so a $(1,1,1)$ e da qui si ha che $T(1,0,0) = (0,-1,-1)$ ?
Anche in questo caso la relazione $T(((1),(0),(0)))+T(<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0))$ sarebbe rispettata.
C'è qualcosa che sbaglio concettualmente, ma non me ne rendo conto
"M.C.D.":
come mai questa relazione ti permette di concludere necessariamente che $ T(1,1,0) = (0,0,0) $
Perchè me lo hai detto tu
$T((1),(0),(0))+T(<((1),(1),(0))>)=((1),(0),(0))$
essendo $<((1),(1),(0))> = alpha ((1),(1),(0))$, si ha
$T(((1),(0),(0)))+T(alpha((1),(1),(0)))=((1),(0),(0))$
per la linearità
$T(((1),(0),(0)))+alpha T(((1),(1),(0)))=((1),(0),(0))$
e questa relazione deve valere $AA alpha in RR$, quindi $T((1),(1),(0))=((0),(0),(0))$.
il mio errore stupidamente era quello di dire,bon mando tutti i vettori generati da $(1,1,0)$ ad esempio in uno stesso vettore $(1,1,1)$ ma in quel caso non sarebbe soddisfatta la proprietà di linearità.
Ti ringrazio per il tempo dedicatomi Magma
Ti ringrazio per il tempo dedicatomi Magma
"M.C.D.":
Ti ringrazio per il tempo dedicatomi Magma
Figurati!
"Magma":
[quote="M.C.D."]
Io so che $T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$
La controimmagine appartiene al dominio, quindi
$T(((1),(0),(0))+<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0))$
[/quote]
Questa è un'immagine, non una controimmagine
"M.C.D.":
Si dica se esiste una funzione lineare $T$ da $ RR^{3} $ in sè tale che $(1,0,0)+<(1,1,0)>$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$
Tradotto, il vettore (1,1,0) fa parte della base (o è la base stessa) dello spazio nullo sinistro, ovvero di $Ker(T^T)$
E questo non è possibile perchè DEVE essere perpendicolare a (1,0,0) e chiaramente non lo è.
"Bokonon":
[quote="Magma"][quote="M.C.D."]
Io so che $ T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)> $
La controimmagine appartiene al dominio, quindi
$ T(((1),(0),(0))+<((1),(1),(0))>) = ((1),(0),(0)) $
[/quote]
Questa è un'immagine, non una controimmagine[/quote]
Allora, il testo afferma
Si dica se esiste una funzione lineare $T$ da $ RR^{3} $ in sè tale che $(1,0,0)+<(1,1,0)>$ sia la controimmagine di $(1,0,0)$
cioè
$T((1,0,0)+<(1,1,0)>)=(1,0,0) $
tuttavia era stato scritto
"M.C.D.":
Io so che$T(1,0,0) = (1,0,0) + <(1,1,0)>$
-------------------------------------------------
"Bokonon":
Tradotto, il vettore (1,1,0) fa parte della base (o è la base stessa) dello spazio nullo sinistro, ovvero di $ Ker(T^T) $
E questo non è possibile perchè DEVE essere perpendicolare a (1,0,0) e chiaramente non lo è.
Che cosa è lo spazio "nullo sinistro" e che cosa è la trasposta di un endomorfismo e perché scomodarla?
Se non erro l'ortogonalità è una condizione più forte dell'indipendenza lineare e non è necessaria per l'esistenza di $T$.
Per il teorema di magma invece la medesima matrice crea l'immagine e anche la controimmagine.
"Bokonon":
Per il teorema di magma invece la medesima matrice crea l'immagine e anche la controimmagine.
Ripeto: la controimmagine non è una funzione ma un sottoinsieme del dominio, e indica i vettori che vengono mandati in un certo sottoinsieme del codominio.
Consideriamo per un chiarezza espositiva $T: V->W$ (anche se $W=V$), per cui abbiamo
$V_1={ ((1),(0),(0)),((1),(1),(0))}subeV$ e $W_1={((1),(0),(0))}$
La controimmagine di $W_1$, e si pone $T^(-1) (W_1)$, è
$T^(-1)(W_1)={v in V : f(v) in W_1}=V_1$
"Bokonon":
[ot][/ot]
Invece di usare questo tono sarcastico potrebbe sfruttare al meglio il tempo commentando l'immagine.
Cosa dovrei capire?
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