Esercizio: appartenenza di un vettore a un sottospazio
Ciao a tutti,
Sono nuovo del forum (e anche della materia...)
Ho un esercizio che non ho capito come svolgere:
Si consideri il sottospazio $ H=L $( $ (1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(1,1,3,0),(2,0,0,1) $ )
1) Determinare la dimensione e una base di H.
2) Il vettore (1,0,0,0) appartiene ad H?
Allora, la prima richiesta è abbastanza facile, e tramite l'algoritmo di Gauss mi sono ricavato la base che è
$ B=(1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(2,0,0,1) $
che ha ovviamente dimensione 3.
Il problema mi sorge invece con la seconda parte dell'esercizio...infatti non ho capito come fare a verificare (a parte andando per tentativi)
se quel vettore appartiene ad H o meno.
Potete aiutarmi?
Grazie
Sono nuovo del forum (e anche della materia...)
Ho un esercizio che non ho capito come svolgere:
Si consideri il sottospazio $ H=L $( $ (1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(1,1,3,0),(2,0,0,1) $ )
1) Determinare la dimensione e una base di H.
2) Il vettore (1,0,0,0) appartiene ad H?
Allora, la prima richiesta è abbastanza facile, e tramite l'algoritmo di Gauss mi sono ricavato la base che è
$ B=(1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(2,0,0,1) $
che ha ovviamente dimensione 3.
Il problema mi sorge invece con la seconda parte dell'esercizio...infatti non ho capito come fare a verificare (a parte andando per tentativi)
se quel vettore appartiene ad H o meno.
Potete aiutarmi?
Grazie
Risposte
Visto che hai trovato una base di $H$, hai due possibilità (di cui il secondo forse più veloce):
1) I vettori $v_1,v_2,v_3$ della base $B$ sono (per definizione di base) linearmente indipendenti. Se aggiungi il vettore $v=(1,0,0,0)$ essi dovranno diventare linearmente dipendenti (perchè $v$ deve essere combinazione lineare dei vettori di $B$).
Dunque ti basta imporre che $v$ è combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$. Questo si traduce in un sistema
$v=av_1+bv_2+cv_3$
nelle incognite $a,b,c$. Sostituisci i valori di $v, v_1,v_2,v_3$ e risolvi rispetto ad $a,b,c$.
Se il sistema è compatibile vuol dire che esistono $a,b,c$ siffatti, ovvero $v$ è combinazione lineare dei tre vettori.
2) Nelle notazioni precedenti, consideriamo la matrice delle coordinate dei vettori $v_1,v_2,v_3,v$ rispetto alla base canonica, cioè consideriamo la matrice
$A=((1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(2,0,0,1),(1,0,0,0))$
Questa matrice avrà rango almeno $3$ (perchè le prime tre righe sono linearmente indipendenti, in quanto sono i vettori di una base). Il vettore $v$ è combinazione lineare degli altri se e solo se il rango di $A$ è esattamente $3$. Ti basta verificare che aggiungendo la riga corrispondente al vettore $v$ il rango non aumenta, cioè rimane $3$.
In breve, se il rango di $A$ è $4$ allora $v$ non appartiene ad $H$. Se il rango di $A$ è $3$, allora $v$ vi appartiene.
P.S. Dimenticavo...benvenuto nel forum!
1) I vettori $v_1,v_2,v_3$ della base $B$ sono (per definizione di base) linearmente indipendenti. Se aggiungi il vettore $v=(1,0,0,0)$ essi dovranno diventare linearmente dipendenti (perchè $v$ deve essere combinazione lineare dei vettori di $B$).
Dunque ti basta imporre che $v$ è combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$. Questo si traduce in un sistema
$v=av_1+bv_2+cv_3$
nelle incognite $a,b,c$. Sostituisci i valori di $v, v_1,v_2,v_3$ e risolvi rispetto ad $a,b,c$.
Se il sistema è compatibile vuol dire che esistono $a,b,c$ siffatti, ovvero $v$ è combinazione lineare dei tre vettori.
2) Nelle notazioni precedenti, consideriamo la matrice delle coordinate dei vettori $v_1,v_2,v_3,v$ rispetto alla base canonica, cioè consideriamo la matrice
$A=((1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(2,0,0,1),(1,0,0,0))$
Questa matrice avrà rango almeno $3$ (perchè le prime tre righe sono linearmente indipendenti, in quanto sono i vettori di una base). Il vettore $v$ è combinazione lineare degli altri se e solo se il rango di $A$ è esattamente $3$. Ti basta verificare che aggiungendo la riga corrispondente al vettore $v$ il rango non aumenta, cioè rimane $3$.
In breve, se il rango di $A$ è $4$ allora $v$ non appartiene ad $H$. Se il rango di $A$ è $3$, allora $v$ vi appartiene.
P.S. Dimenticavo...benvenuto nel forum!
Grazie, ora mi è tutto più chiaro
Ma a questo punto visto che devo verificare se questa nuova matrice è di rango 4 o meno, e so che il rango è >=3
Basta che mi calcolo il determinante di quest'ultima....se è uguale a 0 non appartiene, mentre se è diverso da zero appartiene....giusto?
Ma a questo punto visto che devo verificare se questa nuova matrice è di rango 4 o meno, e so che il rango è >=3
Basta che mi calcolo il determinante di quest'ultima....se è uguale a 0 non appartiene, mentre se è diverso da zero appartiene....giusto?
L'esatto opposto, se il determinante è nullo significa che i vettori sono dipendenti (ovvero v sta nel sottospazio), altrimenti significa che hai trovato una base (ovvero sono indipendenti)
"Zkeggia":
L'esatto opposto, se il determinante è nullo significa che i vettori sono dipendenti (ovvero v sta nel sottospazio), altrimenti significa che hai trovato una base (ovvero sono indipendenti)
Si, hai ragione mi sono sbagliato....quindi mi confermi che in questo caso basta verificare solo il determinante della matrice?
Certo, ma sta scritto in tutti i libri di teoria che per vedere se un vettore è indipendente da un insieme di vettori basta calcolare il rango della matrice formata con gli stessi. Quando hai abbastanza vettori per fare una matrice quadrata calcolare il rango è esattamente equivalente a calcolare il determinante... o meglio avere rango massimo è equivalente a richiedere che il determinante della matrice sia diverso da 0.
Grazie per l'aiuto.
Forse nei libri normali...ma non in quel libricino di 90 pagine che spacciano per libro di testo al mio corso di geometria (ovviamente scritto dal mio prof....)
"Zkeggia":
Certo, ma sta scritto in tutti i libri di teoria che per vedere se un vettore è indipendente da un insieme di vettori basta calcolare il rango della matrice
Forse nei libri normali...ma non in quel libricino di 90 pagine che spacciano per libro di testo al mio corso di geometria (ovviamente scritto dal mio prof....)
"peppe29":
Forse nei libri normali...ma non in quel libricino di 90 pagine che spacciano per libro di testo al mio corso di geometria (ovviamente scritto dal mio prof....)
Allora ti consiglio fortemente di dare un'occhiata qui
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo