Esercizio algebra su classi di resto mod n
Ciao a tutti
come posso procedere per risolvere questo esercizio?
calcolare l ordine dei seguenti elementi : g=2 in (Z/5Z,+)
g=3 in (Z/12Z,+)
come posso procedere per risolvere questo esercizio?
calcolare l ordine dei seguenti elementi : g=2 in (Z/5Z,+)
g=3 in (Z/12Z,+)
Risposte
Ciao,
uso la notazione additiva per i gruppi: siano $(G, +)$ un gruppo e $x \in G$, si definisce ordine di $x$ il minimo intero positivo $n$ tale che $nx = e$.
Dunque devi trovare il minimo intero $n \in N^+$ tale che $n[2]_5 = [0]_5$ ma $n[2]_5 = [n2]_5$ quindi l'equazione diventa $[2n]_5 = [0]_5$... se la vediamo come congruenza si ha appunto $2n \equiv 0 \mod 5$, dato che $(2, 5) = 1$, $2$ è invertibile modulo $5$ quindi $2n \equiv 0 \mod 5 \iff n \equiv 0 \mod 5$, la più piccola soluzione positiva è $n = 5$ dunque l'ordine di $2$ in $(Z_5, +)$ è $5$(ciò significa che $2$ è un generatore di $Z_5$).
Prova a fare un ragionamento simile nell'altro esercizio.
uso la notazione additiva per i gruppi: siano $(G, +)$ un gruppo e $x \in G$, si definisce ordine di $x$ il minimo intero positivo $n$ tale che $nx = e$.
Dunque devi trovare il minimo intero $n \in N^+$ tale che $n[2]_5 = [0]_5$ ma $n[2]_5 = [n2]_5$ quindi l'equazione diventa $[2n]_5 = [0]_5$... se la vediamo come congruenza si ha appunto $2n \equiv 0 \mod 5$, dato che $(2, 5) = 1$, $2$ è invertibile modulo $5$ quindi $2n \equiv 0 \mod 5 \iff n \equiv 0 \mod 5$, la più piccola soluzione positiva è $n = 5$ dunque l'ordine di $2$ in $(Z_5, +)$ è $5$(ciò significa che $2$ è un generatore di $Z_5$).
Prova a fare un ragionamento simile nell'altro esercizio.
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