Esercizio algebra lineare e geometria...
Vi prego di aiutarmi xkè nn so se ho fatto giusto il ragionamento.
La traccia dell'esercizio dice:
in R3 sono dati il punto P(1,0,-1), la retta r: x=1-t, y=2-t, z=3t e il piano π: x+y-3=0
Determinare:
i piani passanti per P e paralleli a r;
le rette passanti per P e perpendicolari a r;
se la retta s: x=1-t, y=-t, z=1+3t è incidente o parallela o contenuta in π...
La traccia dell'esercizio dice:
in R3 sono dati il punto P(1,0,-1), la retta r: x=1-t, y=2-t, z=3t e il piano π: x+y-3=0
Determinare:
i piani passanti per P e paralleli a r;
le rette passanti per P e perpendicolari a r;
se la retta s: x=1-t, y=-t, z=1+3t è incidente o parallela o contenuta in π...
Risposte
Allora io ho fatto i seguenti ragionamenti:
per determinare i piani passanti per $P$ e paralleli a $r$ ho fatto prima una retta passante per $P$ $//$ $r$
per determinare i piani passanti per $P$ e paralleli a $r$ ho fatto prima una retta passante per $P$ $//$ $r$
Allora io ho fatto i seguenti ragionamenti:
per determinare a) i piani passanti per $P$ e paralleli a $r$ ho fatto prima una retta passante per $P$ parallela a $r$ sapendo ke ha lo stesso vettore direttore di $r$ cioè $v_r=(-1,-1,3)$ e ottenendo $\{(x=1-t),(y=-t),(z=-1+3t):}$ ke trasformando queste equazioni in cartesiane diventano $\{(x=1+y),(z=-1-3y):}$. Da queste mi faccio un piano ke abbia come asse questa retta ottenendo così un fascio di piani $\pi^{\prime}$: $x-y-1+k(3y+z+1)=0$
Per il secondo punto b) prendo il fascio di piani ottenuto in precedenza $\pi^{\prime}$, lo metto a sistema con un piano perpendicolare a $r$ e passante per $P$ quindi il vettore di giacitura del piano è proporzionale a $v_r$ e ottengo $pi''$:$-x-y+3z+4=0$. Dal sistema mi esce fuori il seguente fascio di rette $\{(x+y(3k-1)+kz+k-1=0),(y(3k-2)+z(k+3)+k+3=0):}
Per il terzo punto c) mettendo a sistema $s$ e $pi$ ottendo una matrice $A$ $=$ $((1,-1,0),(0,3,1),(1,1,0))$ ke avendo rango $rg(A)=3$ come la matrice completa $A_c$ $=$ $((1,-1,0,-1),(0,3,1,1),(1,1,0,-3))$ ed essendo massimo il rango ho dedotto ke la retta $r$ è incidente a $pi$.
Non sono sicuro dei ragionamenti soprattutto nel punto b). Spero ke qualcuno possa aiutarmi... Grazie
per determinare a) i piani passanti per $P$ e paralleli a $r$ ho fatto prima una retta passante per $P$ parallela a $r$ sapendo ke ha lo stesso vettore direttore di $r$ cioè $v_r=(-1,-1,3)$ e ottenendo $\{(x=1-t),(y=-t),(z=-1+3t):}$ ke trasformando queste equazioni in cartesiane diventano $\{(x=1+y),(z=-1-3y):}$. Da queste mi faccio un piano ke abbia come asse questa retta ottenendo così un fascio di piani $\pi^{\prime}$: $x-y-1+k(3y+z+1)=0$
Per il secondo punto b) prendo il fascio di piani ottenuto in precedenza $\pi^{\prime}$, lo metto a sistema con un piano perpendicolare a $r$ e passante per $P$ quindi il vettore di giacitura del piano è proporzionale a $v_r$ e ottengo $pi''$:$-x-y+3z+4=0$. Dal sistema mi esce fuori il seguente fascio di rette $\{(x+y(3k-1)+kz+k-1=0),(y(3k-2)+z(k+3)+k+3=0):}
Per il terzo punto c) mettendo a sistema $s$ e $pi$ ottendo una matrice $A$ $=$ $((1,-1,0),(0,3,1),(1,1,0))$ ke avendo rango $rg(A)=3$ come la matrice completa $A_c$ $=$ $((1,-1,0,-1),(0,3,1,1),(1,1,0,-3))$ ed essendo massimo il rango ho dedotto ke la retta $r$ è incidente a $pi$.
Non sono sicuro dei ragionamenti soprattutto nel punto b). Spero ke qualcuno possa aiutarmi... Grazie
Mi pare manchi un pezzo: h(x-y-1)+k(3y+z+1)=0
Io ho semplificato non considerando il parametro $h$, ponendo quindi $h=1$ e non considerando il caso in cui $h=0$ perchè annullerebbe tutta la prima equazione e utilizzando solo il parametro $k$...
Dovrei anche considerare il parametro $h$?
Grazie mille...
Sergio la ringrazio tanto... mi ha risolto dei dubbi
Sergio la ringrazio tanto... mi ha risolto dei dubbi
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