Esercizio Algebra Lineare
Dopo essermi presentato, vi posto un esercizio del quale non trovo il bandolo della matassa.. ragionandoci un pò, sono arrivato a comprendere che dovrei determinare l'elemento generico di L e poi ricavare la matrice richiesta tramite le basi che mi dice il testo.. quindi dovrei ricavarmi, se non erro, la matrice del cambiamento di base di dimensione 2x3..
ecco il testo dell'esercizio:
spero di non aver scritto fesserie ma trovo non poche difficoltà nella risoluzione di questo tipo di esercizio..
ecco il testo dell'esercizio:
spero di non aver scritto fesserie ma trovo non poche difficoltà nella risoluzione di questo tipo di esercizio..
Risposte
Non vorrei dire una sciocchezza ma a prima vista mi pare si debba usare il teorema sulle matrici di cambio base:
$M^{C',A}_L = M^{C,A} times M^{B,C}_L times M^{C',B} = M^{C,A} times $ $((2, 0, 1), (1, 1, 0))$ $ times M^{C',B}$
A questo punto, avendo già una matrice, devi trovare le matrici che ti portano da C ad A e da C' a B, che però saranno basi di uno stesso spazio e la funzione sarà quella identica quindi più facile.
Una volta che hai le tre matrici fai le moltiplicazioni righe per colonne e viene fuori la matrice ricercata.
Sempre che sia questo il caso in cui si debba usare questa formula e che l'abbia messa giusta
.
$M^{C',A}_L = M^{C,A} times M^{B,C}_L times M^{C',B} = M^{C,A} times $ $((2, 0, 1), (1, 1, 0))$ $ times M^{C',B}$
A questo punto, avendo già una matrice, devi trovare le matrici che ti portano da C ad A e da C' a B, che però saranno basi di uno stesso spazio e la funzione sarà quella identica quindi più facile.
Una volta che hai le tre matrici fai le moltiplicazioni righe per colonne e viene fuori la matrice ricercata.
Sempre che sia questo il caso in cui si debba usare questa formula e che l'abbia messa giusta
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innanzitutto grazie per la risposta.. 
ho capito cosa intendi.. quindi con le basi che mi ha dato il testo, ricavo le matrici che mi hai indicato (da C a A e da C' a B) per trovare poi quella finale tramite il teorema.. quello che non capito molto è la frase:
ho capito cosa intendi.. quindi con le basi che mi ha dato il testo, ricavo le matrici che mi hai indicato (da C a A e da C' a B) per trovare poi quella finale tramite il teorema.. quello che non capito molto è la frase:
però saranno basi di uno stesso spazio e la funzione sarà quella identica quindi più facile.
Con quello intendevo che in questo modo ti ritrovi a dover trovare una matrice che non è associata ad L, ma all'applicazione identica cioè f(v) = v.
Quindi alla matrice così fatta tu gli dai v, ti ritorna di nuovo v, ma espresso nell'altra base, restando sempre nello stesso spazio.
Quindi altro non fa che dirti come si indicherebbe lo stesso vettore usando un'altra base dello stesso spazio.
Se invece per trovare la matrice richiesta, come nel tuo caso, c'è di mezzo un'applicazione più complessa, che fa diventare v un altro vettore e per di più lo porta in uno spazio con dimensione diversa direi che è più complicato rispetto le altre due matrici richieste dalla formula.
In questo modo trovi 2 matrici facili facili, la terza è più complicata però già ce l'hai, e quella complicata effettivamente richiesta viene fuori per magia.
Quindi alla matrice così fatta tu gli dai v, ti ritorna di nuovo v, ma espresso nell'altra base, restando sempre nello stesso spazio.
Quindi altro non fa che dirti come si indicherebbe lo stesso vettore usando un'altra base dello stesso spazio.
Se invece per trovare la matrice richiesta, come nel tuo caso, c'è di mezzo un'applicazione più complessa, che fa diventare v un altro vettore e per di più lo porta in uno spazio con dimensione diversa direi che è più complicato rispetto le altre due matrici richieste dalla formula.
In questo modo trovi 2 matrici facili facili, la terza è più complicata però già ce l'hai, e quella complicata effettivamente richiesta viene fuori per magia.
allora..
ora che mi hai illustrato cosa devo trovare, devo cercare di capire il come arrivarci.. dunque, secondo quanto scrivi, mi viene da pensare (forse sbagliando) che la matrice M^{C, A} sia formata semplicemente dalle coordinate dei vettori di A visto che C è la base canonica di R^2.. stessa cosa per la matrice M^{C', B}.. giusto!?
PS: scusate ma non so come scrivere con la sintassi delle formule..
ora che mi hai illustrato cosa devo trovare, devo cercare di capire il come arrivarci.. dunque, secondo quanto scrivi, mi viene da pensare (forse sbagliando) che la matrice M^{C, A} sia formata semplicemente dalle coordinate dei vettori di A visto che C è la base canonica di R^2.. stessa cosa per la matrice M^{C', B}.. giusto!?
PS: scusate ma non so come scrivere con la sintassi delle formule..
per le formule leggi qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Cmq sulle due matrici credo tu abbia detto giusto, in questo caso partendo dalla base canonica avranno come colonne semplicemente i vettori della base C' e B rispettivamente.
Nel caso tu debba partire da una base diversa dovrai risolvere un sistema lineare che ti faccia trovare dei coefficienti $ \alpha$ $\beta$ e, in $R^3$, anche $\gamma$ tali che usati per combinare linearmente i vettori di B ti diano l'i-esimo vettore di C'. A questo punto l'i-esima colonna della matrice avrà quei coefficienti come valori. Stesso discorso per A e C.
Cmq sulle due matrici credo tu abbia detto giusto, in questo caso partendo dalla base canonica avranno come colonne semplicemente i vettori della base C' e B rispettivamente.
Nel caso tu debba partire da una base diversa dovrai risolvere un sistema lineare che ti faccia trovare dei coefficienti $ \alpha$ $\beta$ e, in $R^3$, anche $\gamma$ tali che usati per combinare linearmente i vettori di B ti diano l'i-esimo vettore di C'. A questo punto l'i-esima colonna della matrice avrà quei coefficienti come valori. Stesso discorso per A e C.
allora avevo capito bene.. 
mi sorge un dubbio però.. le matrici che ottengo sono di dimensione $M_{C,A}$ 2x2, $M_{B,C}$ 3x2 e $M_{C',B}$ 3x3.. .. il prodotto fra matrici non va fatto considerando che il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice?! in questo caso sinceramente non saprei calcolarlo..
mi sorge un dubbio però.. le matrici che ottengo sono di dimensione $M_{C,A}$ 2x2, $M_{B,C}$ 3x2 e $M_{C',B}$ 3x3.. .. il prodotto fra matrici non va fatto considerando che il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice?! in questo caso sinceramente non saprei calcolarlo..
infatti la prima è una 2x2, la seconda una 2x3 (non 3x2) e hai
$ ((3, 1), (1, 0)) times ((2, 0, 1), (1, 1, 0))$
calcoli quella matrice li (che sarà una 2x3) e il risultato moltiplichi con la $M^ {C', B}$.
$ ((3, 1), (1, 0)) times ((2, 0, 1), (1, 1, 0))$
calcoli quella matrice li (che sarà una 2x3) e il risultato moltiplichi con la $M^ {C', B}$.
giusto.. avevo scritto male..
grazie mille per la disponibilità!
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