Esercizio algebra lineare
Fissata una basa B = {i, j, k} di $Vo^3$, poniamo OA = i + 2j - k e OB = 2i + j + k e sia π = Span (OA, OB) il piano tra loro generato. Trova per quali valori di k ∈ R (se ne esistono) la retta r di equazione parametrica:
$\{(x=3+(k+1)t), (y=3+k-t), (z=k+2t):}$
é contenuta nel piano π.
Questo è l'esercizio, premetto che sono alle prime armi, quindi se non chiedo troppo vorrei qualche anima pia che mi guidi passo passo.
Mi date una mano?
$\{(x=3+(k+1)t), (y=3+k-t), (z=k+2t):}$
é contenuta nel piano π.
Questo è l'esercizio, premetto che sono alle prime armi, quindi se non chiedo troppo vorrei qualche anima pia che mi guidi passo passo.
Mi date una mano?
Risposte
Ciao,
allora io ho proceduto così....
trovi l'equazione cartesiana del piano $n$, generato dai vettori OA $(x,y,z)=(i,2j,-k)$ e OB $(x,y,z)=(2i,j,k)$, che è $z=x-y$, poi ti ricavi il vettore normale al piano che è $(x,y,z)=(-1,1,1)$.
A questo punto per verificare che una retta sia contenuta in un piano, il prodotto scalare tra il vettore normale al piano e il vettore che identifica la retta, deve essere nullo, perciò:
$-3-kt-t+3+k-t+k+2t=0$, semplificando ottengo $2k-kt=0$ ossia $k(2-t)=0$ il quale è verificato per $k=0$ oppure per $t=2$
Spero di aver fatto correttamente i conti!!!
allora io ho proceduto così....
trovi l'equazione cartesiana del piano $n$, generato dai vettori OA $(x,y,z)=(i,2j,-k)$ e OB $(x,y,z)=(2i,j,k)$, che è $z=x-y$, poi ti ricavi il vettore normale al piano che è $(x,y,z)=(-1,1,1)$.
A questo punto per verificare che una retta sia contenuta in un piano, il prodotto scalare tra il vettore normale al piano e il vettore che identifica la retta, deve essere nullo, perciò:
$-3-kt-t+3+k-t+k+2t=0$, semplificando ottengo $2k-kt=0$ ossia $k(2-t)=0$ il quale è verificato per $k=0$ oppure per $t=2$
Spero di aver fatto correttamente i conti!!!
Prima una piccola correzione formale: il vettore $OA$ è dato da $i+2j-k$, quindi se uno scrive il vettore delle coordinate si ha che $(x,y,z)=(1,2,-1)$; la stessa cosa vale per $OB$.
Passando invece alla soluzione proposta non è sufficiente la condizione imposta; infatti basta che $r$ sia parallela al piano dato per essere ortogonale alla retta normale al piano. Secondo me la cosa più facile è sostituire $x,y,z$ della retta nell'equazione cartesiana del piano e imporre che sia un'identità per ogni valore di $t$.
Passando invece alla soluzione proposta non è sufficiente la condizione imposta; infatti basta che $r$ sia parallela al piano dato per essere ortogonale alla retta normale al piano. Secondo me la cosa più facile è sostituire $x,y,z$ della retta nell'equazione cartesiana del piano e imporre che sia un'identità per ogni valore di $t$.
Si Luca, hai ragione.....considerando la tua osservazione, il risultato fortunosamente non cambia.
Rimane quindi $k=0$ e $t=2$
Rimane quindi $k=0$ e $t=2$
Si dai ho capito che devo fare gli esercizi a partire dal primo... in ogni caso vi ringrazio per avermi dato la soluzione poi quando sarò in grado di capire ciò che avete scritto sono sicuro che tutto sarà più chiaro, poi nel caso saprò a chi rivolgermi!
Tante grazie per aver risposto.
Tante grazie per aver risposto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo