Esercizio affinità

[ballerina90]

non ho la più pallida idea di come si risolvano gli esercizi sulle affinità!!!
ad esempio

determinare le affinità $f$ di $A^2$ che lasciano fissi i punti $A=(1,0)$ e $B=(2,-1)$ , dove le coordinate sono relative alla base canonica di $R^2$. Dimostrare che tali affinità lasciano fissi tutti i punti della retta per i punti $A$ e $B$.

potreste suggerirmi,non a risolverlo completamente, ma degli appunti sul web che mi possano aiutare a risolvere esercizi di questo tipo??? vi prego

[Lorin1]

Appunti non saprei.

Vediamo di arrivarci piano piano. Allora la prima cosa che ti potresti ricordare è: quand'è che un'applicazione affine è un'affinità?

[ballerina90]

scusa io ho la formula $f(x)=Ax+c$ per descrivere un'affinità, quella $A$ è una matrice, ma non riesco a capire di cosa, avevo pensato delle coordinate dei punti che ho quindi $A=$ $((1,2),(0,-1))$ se la moltiplico per $x$ avrò $a_(11)x+a_(12)x+a_(21)x+a_(22)x+c$ ora dovrei imporre la condizione che i miei punti rimangono fissi per trovare la $c$ giusto??? però non riesco a capire come si fa!!!!

[mistake89]

C'è un teorema importante che potrebbe tornarti utile (in quanto descrive la costruzione di un'applicazione affine):
$A$ affine $hArr$ $EELinHom(V,V')t.c. L(bar(OP))=bar(A(O)A(P))$ e tale $L$ è unica.

Se maneggi per bene questo teorema ottieni un modo per costruire un'applicazione affine! Inoltre per essere affinità come deve essere $L$?

[ballerina90]

sì questo teorema lo conoscevo! $L$ deve essere un isomorfismo. Però quella formula che dicevo io ce l'ha data la Prof. ma io non riesco proprio a capirla!!!! ora provo a ragionare su quello che mi hai detto tu!

[franced]

"ballerina90":
determinare le affinità $f$ di $A^2$ che lasciano fissi i punti $A=(1,0)$ e $B=(2,-1)$ , dove le coordinate sono relative alla base canonica di $R^2$. Dimostrare che tali affinità lasciano fissi tutti i punti della retta per i punti $A$ e $B$.

Scriviamo un'affinità generica:

$((x),(y)) \mapsto ((a,c),(b,d)) ((x),(y)) + ((e),(f))$

imponendo che i punti $A=(1,0)$ e $B=(2,-1)$ siano fissi abbiamo:

$((x),(y)) \mapsto ((a,a-1),(d-1,d)) ((x),(y)) + ((1-a),(1-d))$

a questo punto basta prendere un punto $P$ qualsiasi della retta $x+y=1$ passante per $A$ e $B$

$P = ((t),(1-t))$

e verificare che è fisso rispetto alla trasformazione.

$((x),(y)) \mapsto ((a,a-1),(d-1,d)) ((t),(1-t)) + ((1-a),(1-d)) = ((t),(1-t))$ .

[ballerina90]

ok la seconda parte dell'esercizio è chiara ma io sto impazzendo a capire da dove viene la matrice $((a, a-1),(d-1,d))$ e $((1-a),(1-d))$
purtroppo non alcun esempio né sugli appunti né su quello schifo di libro (Sernesi)!!!
sai dove posso trovare degli esempi o degli appunti???

[mistake89]

quella che tu hai scritto è l'equazione di un'affinità, non è assolutamente sbagliata. Ma la $A$ che tu hai indicato, è la matrice associata ad $L$ rispetto alla base $B$ del riferimento.

[ballerina90]

è lo so che la mia $A$ è la matrice associata ad $L$ rispetto alla base canonica, ma non so che altro metterci!!!!
anche nel ragionamento di franced non riesco a capire da dove prende quella matrice!!! sto impazzendo!!!!!!!!!!!!!!le ho pensate tutte ma non ci riesco proprio!!

[franced]

Basta scrivere che cosa vuol dire che $A$ e $B$ sono punti fissi:
ottieni un sistema di 4 equazioni in 6 incognite.
Ho preso $a$ e $d$ come parametri liberi
ed ho espresso le altre variabili in funzione di queste due.

[cirasa]

Stai calma e rifletti un attimo su ciò che ti ha detto franced.

"franced":Scriviamo un'affinità generica:

$f: ((x),(y)) \mapsto ((a,c),(b,d)) ((x),(y)) + ((e),(f))$

imponendo che i punti $A=(1,0)$ e $B=(2,-1)$ siano fissi abbiamo:

[Ho chiamato $f$ la generica affinità]
Che significa "imporre che $A$ sia fisso per $f$"?

[ballerina90]

$f(A)=A$ e $f(B)=B$ giusto??
il problema è che io per quanta teoria sulle affinità possa aver letto non ho la più pallida idea di come si svolga un esercizio.....anzi la teoria sul mio libro non è neanche questo chissà che.....
ce la sto mettendo tutta per cercare di capire ma è un pò difficile!

[cirasa]

Pazienza, vorrà dire che integrerai dai tuoi appunti presi a lezione, da appunti reperiti in rete o da altri libri.
Poi qui sul forum c'è sempre qualcuno pronto a darti una mano

Bene, la risposta è esatta.
Imponi che $f(A)=A$. Otterrai alcune condizioni lineari su $a,b,c,d,e,f$.
Poi imponi che $f(B)=B$ ed otterrai altre condizioni.
Come ha già detto franced (rifletti sempre sui suggerimenti che ti vengono dati!), otterrai un sistema di 4 equazioni con 6 incognite.
Risolvilo e il gioco è fatto!

[franced]

Guarda qui:

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... piano.html

guarda il file dell'anno accademico 2008/2009.

[ballerina90]

se sostituisco alla x e alla y i valori dei miei punti dovrei avere una cosa del genere

$f$$((1),(0))$$=$$((a+e),(c+f))$

$f$$((2),(-1))$$=$$((2a-b+e),(2c-d+f))$

ora queste equazioni che ho trovato le devo imporre uguali a i punti che ho quindi

$e=1-a$
$f=-c$
$b=a-1$
$d=c+1$

giusto?

quindi se sostituisco nell'applicazione di partenza ho

$f:$ $((x),(y))$$-->$$((a,a-1),(c,c+1))$$((x),(y))$$+$$((1-a),(-c))$

ed è questa l'affinità che cercavo??

[cirasa]

Dovresti controllare meglio i tuoi conti. C'è qualcosa che non va. Forse avrai commesso qualche errore nel ricopiare sul forum, non so, controlla con calma.

Se vuoi ottenere lo stesso risultato di franced (con le stesse sue notazioni), osserva che la matrice dell'affinità che ha usato franced è $((a,c),(b,d))$, tu stai usando (credo!) $((a,b),(c,d))$ e ha risolto il sistema lasciando $a,d$ come parametri liberi. Naturalmente concettualmente è la stessa cosa. E' solo per una questione di notazioni.

[ballerina90]

mi hai battuto sul tempo stavo per correggere ho sbagliato a ricopiare!!!!

[ballerina90]

volevo scusarmi se alcune mie risposte sono state un pò brusche ma erano giorni che provavo a risolverlo questo esercizio e mi ha veramente esasperato!!! vi ringrazio tutti per la pazienza e l'aiuto che mi avete dato!!.................spero mi aiuterete ancora hihihihi!!