Esercizio

[folgore1]

Salve a tutti!!qualcuno può confermarmi se questo esercizio l'ho svolto bene???
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale si considerino le rette e il piano:
$r:(x,y,z)=(0,2,0)+t(-1,-1,1)$ $r_1:(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,-1)$ e $pi:x-2y+z-1=0$
i)si verifichi che r non è parallela a $pi$ e si determinino le coordinate nel punto $P=r intersezione pi$
ii)si rappresenti una retta contenuta in $pi$ ed ortogonale ad r.

i) $r:(x,y,z)=(0,2,0)+t(-1,-1,1)$
$r:(x,y,z)=t(-1,-1,1)$
$r:(x,y,z)=(-t,2-t,t)$

Sostituendo in $pi$ ottengo il valore di t:
$t=3$
Ora per ottenere le coordinate del punto P sostituisco in $r:(x,y,z)=(-t,2-t,t)$ :
$P=(-3,-1,3)$
Dunque r non parallela al piano $pi$ poichè è incidente nel punto $P=(-3,-1,3)$.

ii) La retta $r'$ può essere rappresentata in forma parametrica:

$x=x_0+lt$
$y=y_0+mt$
$z=z_0+nt$
Ora ricavo il parametro direttore della retta r che risulta:
$(-1,-1,1)$
$(l',m',n')=(-1,-1,1)$

$(l,m,n)(l',m',n')=0$
$(l,m,n)(-1,-1,1)=0$

dunque $-l-m+n=0$ è la retta $r'$ ortogonale alla retta r.
Ora verifico se è contenuta nel piano $pi$ portando in forma omogenea l'equazione del piano $pi$:
$pi:x-2y+z-1=0$
$x-2y+z=0$
cioè
$l-2m+n=0$
Costruisco un sistema omogeneo costituito dalle due equazioni:
$l-2m+n=0$
$-l-m+n=0$
le sue soluzioni sono:
$n=3/2m$
$l=m/2$

$(l,m,n)=(m/2,m,3/2m)$
$m(1/2,1,3/2)$

Quindi la retta $r'$ avrà equazioni parametriche:
$x=x_0+t/2$
$y=y_0+t$
$z=z_0+3/2t$


Grazie a tutti!!!

[folgore1]

Scusatemi poichè ho sbagliato a postare nel punto i) volevo dire:
$P$=$r$ intersezione $pi$

[folgore1]

E' fatto bene???

[folgore1]

Ragazzi volevo sapere anche un'altra cosa ma se voglio determinare la distanza tra la retta $r$ e la retta $r_1$ come devo fare???
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà!!!!

[_Tipper]

"folgore":Ragazzi volevo sapere anche un'altra cosa ma se voglio determinare la distanza tra la retta $r$ e la retta $r_1$ come devo fare???
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà!!!!

Un modo un po' arzigogolato potrebbe essere quello di prendere un punto $x_0 \in r$, scrivere il piano perpendicolare passante per tale punto, calcolare l'intersezione con l'altra retta, calcolare la distanza fra $x_0$ e il punto trovato.
Penso funzioni, ma ce ne saranno sicuramente di più veloci.

[folgore1]

ho capito...io ho applicato proprio questo metodo...grazie Tipper!!
Ragazzi ma l'ho svolto bene l'esercizio mi interessa saperlo perchè era di un esame....

[_Tipper]

"folgore":Ragazzi ma l'ho svolto bene l'esercizio mi interessa saperlo perchè era di un esame....

Prova a riscriverlo togliendo quei 5 smiles, ma gari è un po' più leggibile all'inizio.

[folgore1]

ok ora lo posto di nuovo.....

[folgore1]

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale si considerino le rette e il piano:
$r$ $: (x,y,z)=(0,2,0)+t(-1,-1,1)$ $r_1$ $:(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,-1)$ e $pi:x-2y+z-1=0$
i)si verifichi che r non è parallela a π e si determinino le coordinate nel punto
$P$=$r$ intersezione $pi$
ii)si rappresenti una retta contenuta in π ed ortogonale ad r.


i) $r$ $(x,y,z)=(0,2,0)+t(-1,-1,1)$
$r$ $(x,y,z)=t(-1,-1,1)$
$r$ $(x,y,z)=(-t,2-t,t)$

Sostituendo in $pi$ ottengo il valore di t:
$t=3$
$P=(-3,-1,3)$
Ora per ottenere le coordinate del punto P sostituisco in $r$: $(x,y,z)=(-t,2-t,t)$
Dunque r non parallela al piano $pi$ poichè è incidente nel punto $P=(-3,-1,3)$.

ii) La retta $r'$ può essere rappresentata in forma parametrica:

$x=x_0$+lt
$y=y_0+mt$
$z=z_0+nt$
Ora ricavo il parametro direttore della retta r che risulta:
$(-1,-1,1)$
$(l',m',n')=(-1,-1,1)$

$(l,m,n)(l',m',n')=0$
$(l,m,n)(-1,-1,1)=0$

dunque $-l-m+n=0$ è la retta $r'$ ortogonale alla retta r.
Ora verifico se è contenuta nel piano $pi$ portando in forma omogenea l'equazione del piano $pi$:
$pi:x-2y+z-1=0$
$x-2y+z=0$
cioè
$l-2m+n=0$
Costruisco un sistema omogeneo costituito dalle due equazioni:
$l-2m+n=0$
$-l-m+n=0$
le sue soluzioni sono:
$n=3/2m$
$l=m/2$

$(l,m,n)=(m/2,m,3/2m)$
$m(1/2,1,3/2)$

Quindi la retta $r'$ avrà equazioni parametriche:
$x=x_0+t/2$
$y=y_0+t$
$z=z_0+3/2t$

[_Tipper]

Ma il punto $P=(-3,-1,3)$ non appartiene al piano, io ho trovato, come punto di intersezione $(-\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$.

Poi non ho capito una cosa: nel punto ii) la retta da determinare deve essere ortogonale a $r$ o a $r'$?

[folgore1]

Allora nel punto ii) la retta da determinare deve essere ortogonale a $r$..... ma come hai fatto a trovare come punto di intersezione $(-\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$???

[_Tipper]

Ho scritto l'equazione cartesiana della retta:

$\{(x=-t),(y=2-t),(z=t):}=\{(x+z=0),(y=2+x):}$

Poi l'ho messo a sistema con il piano:

$\{(x+z=0),(y=2+x),(x-2y+z-1=0):}$

e ho risolto.

Per il punto ii), ma allora $r'$ a che serve?

[folgore1]

cioè quando l'esercizio dice:
ii)si rappresenti una retta contenuta in π ed ortogonale ad r.
io questa retta da rappresentare l'ho chiamata $r'$...

[_Tipper]

Sì, ma all'inizio dell'esercizio c'è scritto considerate due rette e un piano, una di queste rette è $r'$, $(1,0,0)+t(1,1,-1)$ questa, a che serve?

[folgore1]

ah...ora ho capito cosa dici tu intendi $r_1$ serve per il terzo punto iii) che nn ho postato in pratica bisognava calcolare la distanza tra $r$ e $r'$....

[_Tipper]

In ogni caso, una base per la direzione di $r$ è data dal vettore $((-1),(-1),(1))$, quindi la famiglia di piani perpendicolari a tale retta è dato da $-x-y+z=d$, scegliendo, ad esempio, $d=0$ si trova l'equazione del piano passante per l'origine e perpendicolare a $r$.
Per trovare poi una retta contenuta in $\pi$ basta mettere a sistema questo piano, $-x-y+z=$, con il piano $\pi$.

[_Tipper]

"folgore":ah...ora ho capito cosa dici tu intendi $r_1$ serve per il terzo punto iii) che nn ho postato in pratica bisognava calcolare la distanza tra $r$ e $r'$....

Ah... ecco...

Sai, quando ho davanti un esercizio, e ci sono alcuni dati forniti che non uso, mi insospettisco sempre...

[folgore1]

Il fatto è che ho sbagliato a postare dall'inizio questo esercizio.....