Esercizietto sui sottospazi vettoriali
Ciao a tutti!
Ho un esercizio che dice:
Verificare se i seguenti vettori dello spazio $RR^3$ sono indipendenti
$v_1=(2,-1,1),v_2=(0,1,-2),v_3=(-2,2,-3)$
e costruire il sottospazio da essi generato.
Il primo punto l'ho fatto (e infatti sono indipendenti), ora però non so come costruire il sottospazio da essi generato. Cioè io conosco le condizioni affinché si abbia un sottospazio vettoriale, ma non capisco come costruirlo. Grazie.
Ho un esercizio che dice:
Verificare se i seguenti vettori dello spazio $RR^3$ sono indipendenti
$v_1=(2,-1,1),v_2=(0,1,-2),v_3=(-2,2,-3)$
e costruire il sottospazio da essi generato.
Il primo punto l'ho fatto (e infatti sono indipendenti), ora però non so come costruire il sottospazio da essi generato. Cioè io conosco le condizioni affinché si abbia un sottospazio vettoriale, ma non capisco come costruirlo. Grazie.
Risposte
Tu c'hai (come direbbe il mio prof di algebra) 3 vettori linearmente indipendenti di $RR^3$. Il sottospazio da essi generato sarà un sottospazio di $RR^3$ di dimensione 3, visto che i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Quindi...
Quindi il sottospazio sarebbe $$?
$RR^3 $ ha dimensione 3 , tu hai 3 vettori di $RR^3$ linearmente indipendenti, quindi essi generano tutto......
Ok ho capito, grazie.
Attenzione, ho controllato e i 3 vettori sono linearmente DIPENDENTI e quindi ad esempio $v_1,v_2 $ generano il sottospazio di $RR^3$.
bellissimo come parlavamo per non rivelare...
Aspetta scusa perché sono dipendenti?
Io per verificare l'indipendenza ho posto $av_1+bv_2+cv_3=(0,0,0)$ e poi ho messo a sistema:
$2a-2c=0$
$-a+b+2c=0$
$a-2b-3c=0$
Risolvendo il sistema mi viene che i coefficienti a,b,c sono tutti nulli e da qui ne segue che i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Io per verificare l'indipendenza ho posto $av_1+bv_2+cv_3=(0,0,0)$ e poi ho messo a sistema:
$2a-2c=0$
$-a+b+2c=0$
$a-2b-3c=0$
Risolvendo il sistema mi viene che i coefficienti a,b,c sono tutti nulli e da qui ne segue che i tre vettori sono linearmente indipendenti.
manugal osserva che $v_2-v_1=v_3$.... quindi sono linearmente dipendenti.
ciao ciao
ciao ciao
"Manugal":
Aspetta scusa perché sono dipendenti?
Io per verificare l'indipendenza ho posto $av_1+bv_2+cv_3=(0,0,0)$ e poi ho messo a sistema:
$2a-2c=0$
$-a+b+2c=0$
$a-2b-3c=0$
Risolvendo il sistema mi viene che i coefficienti a,b,c sono tutti nulli e da qui ne segue che i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Dalla prima equazione ottieni che $ a=c $ e poi che $b = -c $ e quindi ci sono $oo^1$ soluzioni (usando ad es. $c $ come parametro) e non solo la soluzione nulla.
Ok, grazie ora ho capito. Non avevo pensato che la soluzione generica era $(c,-c,c)$. Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo