Esercizi un pò ostici: diagonalizzazione e sistemi di gen.
Salve a tutti... ho l'esame di geometria martedì e ho dei problemi con una delle tracce d'esame che il prof. ha messo a disposizione... non riesco a risolvere neanche un esercizio 
.... I metodi risolutivi li conosco ma ad un certo punto degli esercizi mi blocco...
es1. Sia $U$ il sottospazio di $R^6$ di equazione $\{(x_1+x_2+x_3+x_4-x_5 = 0),(x_1-x_2+x_6=0):}$
I vettori $A_1=(1,-1,1,-1,0,2),A_2=(1,0,1,0,2,-1),A_3=(1,1,0,1,3,0),A_4=(3,0,2,0,5-3),A_5=(2,2,1,2,7,0),A_6=(2,-2,3,-2,1,4)$ sono un sistema di generatori di $U$?
Questo è l'unico che forse ho capito come svolgere:
So che per verificare che un insieme di vettori sia un insieme di generatori per uno spazio vettoriale basta che la combinazione lineare dei suddetti sia uguale ad un generico vettore dello spazio vettoriale considerato... volevo sapere se è giusto quindi procedere in questo modo:
1) trovare un generico vettore del sottospazio dato risolvendo il sistema $U$
2) una volta trovato il vettore, trovare i coefficienti della combinazione linare dei vettori dati ponendo la combinazione lineare uguale al vettore generico trovato al punto 1 e risolvere il sistema.
In questo caso i vettori generano il sottospazio, e lo si può verificare anche sostituendo alle incognite del sistema i valori dei vettori...
Es.2
Questo non ho proprio capito come risolverlo:
Se $C=$$((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))$ si consideri l'applicazione lineare $f:M(2xx3,R) -> M(2xx3,R)$ che alla matrice $X$ di $M(2xx3,R)$ associa la matrice $f(X)=CX$
1) Determinare nucle ed immagine di f
2) Fissato il riferimento $R={E_11,E_21,E_12,E_22,E_13,E_23}$ scrivere la matrice $M(f,R)$ associate ad $f$ nel riferimento $R$
3) Dire se $f$ è diagonalizzabile
Il punto è che non ho capito come trovarmi $f$ e il relativo sistema... cioè so che in $R^2$ ad esempio avrei dovuto fare una cosa del genere:
$f(x,y)=((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))((x),(y))$... ma come si fa in $M(2xx3,R)$?
Es. 3
$A=((2,3,0,0),(-1,-2,0,0),(a,b,-1,-3),(0,0,1,4))$
Dire per quali valori di $ a$ e $b$ la matrice è diagonalizzabile
Essendo una matrice a blocchi diagonale inferiore, il polinomio caratteristico mi viene: $[(2-t)(-2-t)+3][(1-t)(4-t)+3]=(t^2-1)(t^2-3t-1)$ ammesso che i calcoli siano giusti ho 4 autovalori di cui due sono $t_1=1,t_2=-1$ e risolvendo l'equazione di 2° grado: $t_3=(3+sqrt(13))/2,t_4=(3-sqrt(13))/2$. Il che mi sembra strano... in ogni caso volevo capire se basta trovare gli autovalori per dimostrare che è diagonalizzabile per ogni a e b in quanto essendo tutte le m.a.=1 allora anche le m.g. saranno tutte=1.
Es.4
Questo è quello dove sono rimasto alquanto perplesso:
$A=((0,3,-2),(2,1,-2),(-3,3,1))$
1)Calcolare gli autovalore e gli autovettori di $A$
2)Se l'applicazione $f_A$ è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata in $f_A$ in un sistema di autovettori
Cercando di svolgere il punto 1 ho trovato il seguente polinomio caratteristico: $-t^3+2t^2+5t-6$ che come soluzioni mi da i tre autovalori $t_1=1,t_2=3,t_3=-2$... la cosa che mi lascia perplesso è il fatto che l'auto spazio $V_1$ ha dimensione 0 di conseguenza m.g.=0 mentre so che se la molteplicità algebrica di un autovalore è 1 allora anche la sua molteplicità geometrica sarà 1. Per gli altri due autospazi la dimensione è 1 e quindi mi trovo con i calcoli... mi sfugge qualcosa? L'autovettore dello spazio $V_1$ può essere a sto punto il vettore nullo?
Spero mi possiate dare una mano...
Grazie in anticipo a tutti...
.... I metodi risolutivi li conosco ma ad un certo punto degli esercizi mi blocco... es1. Sia $U$ il sottospazio di $R^6$ di equazione $\{(x_1+x_2+x_3+x_4-x_5 = 0),(x_1-x_2+x_6=0):}$
I vettori $A_1=(1,-1,1,-1,0,2),A_2=(1,0,1,0,2,-1),A_3=(1,1,0,1,3,0),A_4=(3,0,2,0,5-3),A_5=(2,2,1,2,7,0),A_6=(2,-2,3,-2,1,4)$ sono un sistema di generatori di $U$?
Questo è l'unico che forse ho capito come svolgere:
So che per verificare che un insieme di vettori sia un insieme di generatori per uno spazio vettoriale basta che la combinazione lineare dei suddetti sia uguale ad un generico vettore dello spazio vettoriale considerato... volevo sapere se è giusto quindi procedere in questo modo:
1) trovare un generico vettore del sottospazio dato risolvendo il sistema $U$
2) una volta trovato il vettore, trovare i coefficienti della combinazione linare dei vettori dati ponendo la combinazione lineare uguale al vettore generico trovato al punto 1 e risolvere il sistema.
In questo caso i vettori generano il sottospazio, e lo si può verificare anche sostituendo alle incognite del sistema i valori dei vettori...
Es.2
Questo non ho proprio capito come risolverlo:
Se $C=$$((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))$ si consideri l'applicazione lineare $f:M(2xx3,R) -> M(2xx3,R)$ che alla matrice $X$ di $M(2xx3,R)$ associa la matrice $f(X)=CX$
1) Determinare nucle ed immagine di f
2) Fissato il riferimento $R={E_11,E_21,E_12,E_22,E_13,E_23}$ scrivere la matrice $M(f,R)$ associate ad $f$ nel riferimento $R$
3) Dire se $f$ è diagonalizzabile
Il punto è che non ho capito come trovarmi $f$ e il relativo sistema... cioè so che in $R^2$ ad esempio avrei dovuto fare una cosa del genere:
$f(x,y)=((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))((x),(y))$... ma come si fa in $M(2xx3,R)$?
Es. 3
$A=((2,3,0,0),(-1,-2,0,0),(a,b,-1,-3),(0,0,1,4))$
Dire per quali valori di $ a$ e $b$ la matrice è diagonalizzabile
Essendo una matrice a blocchi diagonale inferiore, il polinomio caratteristico mi viene: $[(2-t)(-2-t)+3][(1-t)(4-t)+3]=(t^2-1)(t^2-3t-1)$ ammesso che i calcoli siano giusti ho 4 autovalori di cui due sono $t_1=1,t_2=-1$ e risolvendo l'equazione di 2° grado: $t_3=(3+sqrt(13))/2,t_4=(3-sqrt(13))/2$. Il che mi sembra strano... in ogni caso volevo capire se basta trovare gli autovalori per dimostrare che è diagonalizzabile per ogni a e b in quanto essendo tutte le m.a.=1 allora anche le m.g. saranno tutte=1.
Es.4
Questo è quello dove sono rimasto alquanto perplesso:
$A=((0,3,-2),(2,1,-2),(-3,3,1))$
1)Calcolare gli autovalore e gli autovettori di $A$
2)Se l'applicazione $f_A$ è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata in $f_A$ in un sistema di autovettori
Cercando di svolgere il punto 1 ho trovato il seguente polinomio caratteristico: $-t^3+2t^2+5t-6$ che come soluzioni mi da i tre autovalori $t_1=1,t_2=3,t_3=-2$... la cosa che mi lascia perplesso è il fatto che l'auto spazio $V_1$ ha dimensione 0 di conseguenza m.g.=0 mentre so che se la molteplicità algebrica di un autovalore è 1 allora anche la sua molteplicità geometrica sarà 1. Per gli altri due autospazi la dimensione è 1 e quindi mi trovo con i calcoli... mi sfugge qualcosa? L'autovettore dello spazio $V_1$ può essere a sto punto il vettore nullo?
Spero mi possiate dare una mano...
Grazie in anticipo a tutti...
Risposte
Benvenut*!
Es.1) Facendo i conti si vede che [tex]$A_1\not\in U$[/tex] e quindi...
Es.2) Forse ho capito, però ti chiedo di specificarmi le matrici del riferimento vettoriale [tex]$R$[/tex].
Es.3) Non è strano che gli autovalori ti vengano irrazionali (vedi questo mio post); essendo 4 (più in generale avendo [tex]$n$[/tex]) autovalori semplici di una matrice quadrata di ordine 4 ([tex]$n$[/tex]) la matrice è diagonalizzabile.
Es.4) Stampa i conti di [tex]$V(1)$[/tex] che li controllo!
Es.1) Facendo i conti si vede che [tex]$A_1\not\in U$[/tex] e quindi...
Es.2) Forse ho capito, però ti chiedo di specificarmi le matrici del riferimento vettoriale [tex]$R$[/tex].
Es.3) Non è strano che gli autovalori ti vengano irrazionali (vedi questo mio post); essendo 4 (più in generale avendo [tex]$n$[/tex]) autovalori semplici di una matrice quadrata di ordine 4 ([tex]$n$[/tex]) la matrice è diagonalizzabile.
Es.4) Stampa i conti di [tex]$V(1)$[/tex] che li controllo!
Per quanto riguarda l'esercizio 1 in effetti neanche $A_6$ appartiene ad $U$ quindi errore mio... ma volevo sapere se il metodo di risolvere il sistema e poi porre il vettore risultate uguale alla combinazione lineare degli altri sei vettori è giusto....
Per quanto riguarda l'esercizio 2 i vettori dovrebbero essere le basi canoniche con gli uno messi nelle posizioni dei pedici... almeno da quanto ho capito visto che quella che ti ho postato è la trascrizione della traccia. Ma non è tanto il problema dei riferimenti quanto trovarmi la cavolo di $f(X)=CX$... in realtà ho ipotizzato che potesse essere una cosa del genere: $F((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))
L'unico problema è che non ho capito come risolvere il sistema risultante. Cioè ho una matrice 2x3 ma come lo trasformo in un sistema lineare ad esempio per trovarmi $kerf$?
Per l'esercizio 3 quindi non ho bisogno di trovare gli autovettori per dire se è diagonalizzabile? Basta sapere che le molteplicità sono 4 e di conseguenze anche quelle geometriche sono unguali a quelle algebriche (essendo m.a=m.g=1)? Quindi il procedimento che ho usato è giusto?
Es.4: Come non detto... sbagliavo i calcoli nella riduzione a gradini
cmq: $p(t)=det((0-t,3,-2),(2,1-t,-2),(-3,3,1-t))=$
$(-t)(t-1)(t-1)+18-12-6(1-t)-6t-6(1-t)=$
$(-t)(1-t-t+t^2)+6-12(1-t)-6t=$
$(-t)(t^2-2t+1)+6-12+12t-6t=$
$-t^3+2t^2-t-6+12t-6t=-t^3+2t^2+5t-5$
Scomponendo con Ruffini: $(t-1)(-t^2+t+6) -> t_1=1,t_2=3,t_3=-2$
Sostituendo: $V_1=((-1,3,-2),(2,0,-2),(-3,3,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))
Trasformo la matrice a gradini: $((-1,3,-2),(0,6,-6),(-3,3,0)) -> ((-1,3,-2),(0,6,-6),(0,-6,6)) -> ((-1,3,-2),(0,6,-6),(0,0,0))$
La matrice ha una variabile libera $z$ quindi $dim(V_1)=1$. Risolvendo il sistema:
$\{(-x + 3y - 2z=0),(6y - 6z = 0):};\{(-x + 3y - 2z=0),(y = z):};\{( x = z),(y = z):}$
$B_V_1={z,z,z : z in R}$ allora $B_V_1=L(1,1,1)$ per $z=1$
Aspetto invece notizie sugli altri esercizi... Grazie per la risposta
Per quanto riguarda l'esercizio 2 i vettori dovrebbero essere le basi canoniche con gli uno messi nelle posizioni dei pedici... almeno da quanto ho capito visto che quella che ti ho postato è la trascrizione della traccia. Ma non è tanto il problema dei riferimenti quanto trovarmi la cavolo di $f(X)=CX$... in realtà ho ipotizzato che potesse essere una cosa del genere: $F((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))
L'unico problema è che non ho capito come risolvere il sistema risultante. Cioè ho una matrice 2x3 ma come lo trasformo in un sistema lineare ad esempio per trovarmi $kerf$?
Per l'esercizio 3 quindi non ho bisogno di trovare gli autovettori per dire se è diagonalizzabile? Basta sapere che le molteplicità sono 4 e di conseguenze anche quelle geometriche sono unguali a quelle algebriche (essendo m.a=m.g=1)? Quindi il procedimento che ho usato è giusto?
Es.4: Come non detto... sbagliavo i calcoli nella riduzione a gradini
cmq: $p(t)=det((0-t,3,-2),(2,1-t,-2),(-3,3,1-t))=$$(-t)(t-1)(t-1)+18-12-6(1-t)-6t-6(1-t)=$
$(-t)(1-t-t+t^2)+6-12(1-t)-6t=$
$(-t)(t^2-2t+1)+6-12+12t-6t=$
$-t^3+2t^2-t-6+12t-6t=-t^3+2t^2+5t-5$
Scomponendo con Ruffini: $(t-1)(-t^2+t+6) -> t_1=1,t_2=3,t_3=-2$
Sostituendo: $V_1=((-1,3,-2),(2,0,-2),(-3,3,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))
Trasformo la matrice a gradini: $((-1,3,-2),(0,6,-6),(-3,3,0)) -> ((-1,3,-2),(0,6,-6),(0,-6,6)) -> ((-1,3,-2),(0,6,-6),(0,0,0))$
La matrice ha una variabile libera $z$ quindi $dim(V_1)=1$. Risolvendo il sistema:
$\{(-x + 3y - 2z=0),(6y - 6z = 0):};\{(-x + 3y - 2z=0),(y = z):};\{( x = z),(y = z):}$
$B_V_1={z,z,z : z in R}$ allora $B_V_1=L(1,1,1)$ per $z=1$
Aspetto invece notizie sugli altri esercizi... Grazie per la risposta
Le matrici del riferimento $R$ dell'esercizio 2 dovrebbero essere : $R=((1,0,0),(0,0,0)),((0,0,0),(1,0,0)),((0,1,0),(0,0,0)),((0,0,0),(0,1,0)),((0,0,1),(0,0,0)),((0,0,0),(0,0,1))$
Es.1) Devi considerare la generica combinazione lineare dei vettori dati e vedere se essa verificasse le richieste preposte!
Es.2) Esegui il prodotto righe per colonne, volendo calcolare il nucleo basta imporre il risultato eguale alla matrice nulla, volendo calcolare l'immagine basta porre la generica matrice [tex]$2\mathrm{x}3$[/tex] eguale a quella che ti ritrovi. Per la seconda richiesta, fissato il riferimento [tex]$R$[/tex] determina le matrici immagine delle sue matrici componenti e rappresentale come le colonne (righe) della matrice rappresentativa [tex]$f$[/tex].
Es.3) Per la diganolizzabilità basta studiare le molteplicità degli autovalori, in questo caso t'ho detto perché è immediata.
Es.2) Esegui il prodotto righe per colonne, volendo calcolare il nucleo basta imporre il risultato eguale alla matrice nulla, volendo calcolare l'immagine basta porre la generica matrice [tex]$2\mathrm{x}3$[/tex] eguale a quella che ti ritrovi. Per la seconda richiesta, fissato il riferimento [tex]$R$[/tex] determina le matrici immagine delle sue matrici componenti e rappresentale come le colonne (righe) della matrice rappresentativa [tex]$f$[/tex].
Es.3) Per la diganolizzabilità basta studiare le molteplicità degli autovalori, in questo caso t'ho detto perché è immediata.
Una domanda, perche' [tex]A1[/tex] non appartiene a [tex]U[/tex] ?
(Non capisco che procedimento usare per determinare cio'.)
(Non capisco che procedimento usare per determinare cio'.)
Essendo in [tex]$A_1,\,x_1=1;\,x_2=-1;\,x_3=1;\,x_4=-1;\,x_5=0;\,x_6=2\hdots$[/tex]
EDIT: In questo caso [tex]$x_1-x_2+x_6=1-(-1)+2=1+1+2=4\neq0$[/tex] per cui tale vettore non è soluzione del dato sistema e non può essere in [tex]$U$[/tex].
EDIT: In questo caso [tex]$x_1-x_2+x_6=1-(-1)+2=1+1+2=4\neq0$[/tex] per cui tale vettore non è soluzione del dato sistema e non può essere in [tex]$U$[/tex].
Solo un'ultima domanda... nell'esercizio 1 quindi come faccio a verificare che i vettori siano un sistema di generatori per quel sottospazio?
mi dovete scusare ma ho ancora qualche dubbio sull'esercizio 2. Volevo capire qual è la matrice associata: la matrice C o la matrice F(X)=CX? Lo chiedo perchè la traccia dice:" si consideri l'applicazione lineare.... che alla matrice X associa la matrice F(X)=CX..." a questo punto non mi è più chiaro quale dovrebbe essere la matrice associata... sapete spiegarmi in modo semplice che cosa è o cosa non è questa benedetta matrice C?
Es.I) ma sai scrivere il generico vettore generato da un insieme di vettori?
Es.II) e.g.: [tex]$F(E_{11})=\begin{pmatrix}\sqrt3&1\\-1&\sqrt3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt3&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$[/tex] per cui la prima colonna della matrice rappresentativa di [tex]$F$[/tex] rispetto al riferimento vettoriale [tex]$R$[/tex] è [tex]$(\sqrt3;0;0;-1;0;0)^T$[/tex]. Analogamente la seconda colonna la si ricava da [tex]$F(E_{21})$[/tex]; e.o.!
Es.II) e.g.: [tex]$F(E_{11})=\begin{pmatrix}\sqrt3&1\\-1&\sqrt3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt3&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$[/tex] per cui la prima colonna della matrice rappresentativa di [tex]$F$[/tex] rispetto al riferimento vettoriale [tex]$R$[/tex] è [tex]$(\sqrt3;0;0;-1;0;0)^T$[/tex]. Analogamente la seconda colonna la si ricava da [tex]$F(E_{21})$[/tex]; e.o.!
es.1) Forse non sono stato chiaro nella richiesta... il vettore generico lo so trovare... in questo caso devo risolvere questo sistema:
$\{(x_1+x_2+x_3+3x_4+2x_5+2x_6=a),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=b),(x_1+x_2+2x_4+x_5+3x_6=c),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=d),(2x_2+3x_3+5x_4+7x_5+x_6=e),(2x_1-x_2-3x_4-4x_6=f):}$
Ora... risolvendo questo sistema potrò solo dire se i vettori generano o no $R^6$... ma se voglio vedere se generano il sottospazio $U$ dato, vorrei capire se al posto di a,b,c... etc devo mettere il vettore generico risultante da quest'altro sistema:
$U=\{(x_1+x_2+x_3+x_4-x_5=0),(x_1-x_2+x_6=0):}$
cioè: $V=(-x_3/2-x_4/2+x_5/2-x_6/2,-x_3/2-x_4/2+x_5/2+x_6/2,x_3,x_4,x_5,x_6)$
quindi la mia domanda è: per sapere se i vettori generano $U$ devo risolvere questo sistema:
$\{(x_1+x_2+x_3+3x_4+2x_5+2x_6=-c/2-d/2+e/2-f/2),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=-c/2-d/2+e/2+f/2),(x_1+x_2+2x_4+x_5+3x_6=c),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=d),(2x_2+3x_3+5x_4+7x_5+x_6=e),(2x_1-x_2-3x_4-4x_6=f):}$
con $x_1=a,x_2=b,x_3=c,x_4=d,x_5=e,x_6=f$ ??? O sono completamente fuori strada???
es.2) quindi $C$, da quanto ho capito, è la matrice associata ad $F$???
Ne approfitto per chiedere un'altra cosa:
Ho un esercizio dove mi chiede, dati i vettori $A1 = (1, 1, 1, 1, 1), A2 = (1, 0, 1, 0, 1), A3 = (0, 1, 1, 0, 0), A4 = (1, 1, 0, 1, 0), A5 = (1, 1, 3, 0, 2)$ determinare il sottospazio $W=L({A1,A2,A3,A4,A5})$.... ma non ho capito il senso della traccia dato che la copertura lineare in se genera comunque il sottospazio... Come dovrei procedere per risolvere tale esercizio?
$\{(x_1+x_2+x_3+3x_4+2x_5+2x_6=a),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=b),(x_1+x_2+2x_4+x_5+3x_6=c),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=d),(2x_2+3x_3+5x_4+7x_5+x_6=e),(2x_1-x_2-3x_4-4x_6=f):}$
Ora... risolvendo questo sistema potrò solo dire se i vettori generano o no $R^6$... ma se voglio vedere se generano il sottospazio $U$ dato, vorrei capire se al posto di a,b,c... etc devo mettere il vettore generico risultante da quest'altro sistema:
$U=\{(x_1+x_2+x_3+x_4-x_5=0),(x_1-x_2+x_6=0):}$
cioè: $V=(-x_3/2-x_4/2+x_5/2-x_6/2,-x_3/2-x_4/2+x_5/2+x_6/2,x_3,x_4,x_5,x_6)$
quindi la mia domanda è: per sapere se i vettori generano $U$ devo risolvere questo sistema:
$\{(x_1+x_2+x_3+3x_4+2x_5+2x_6=-c/2-d/2+e/2-f/2),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=-c/2-d/2+e/2+f/2),(x_1+x_2+2x_4+x_5+3x_6=c),(-x_1+x_3+2x_5-2x_6=d),(2x_2+3x_3+5x_4+7x_5+x_6=e),(2x_1-x_2-3x_4-4x_6=f):}$
con $x_1=a,x_2=b,x_3=c,x_4=d,x_5=e,x_6=f$ ??? O sono completamente fuori strada???
es.2) quindi $C$, da quanto ho capito, è la matrice associata ad $F$???
Ne approfitto per chiedere un'altra cosa:
Ho un esercizio dove mi chiede, dati i vettori $A1 = (1, 1, 1, 1, 1), A2 = (1, 0, 1, 0, 1), A3 = (0, 1, 1, 0, 0), A4 = (1, 1, 0, 1, 0), A5 = (1, 1, 3, 0, 2)$ determinare il sottospazio $W=L({A1,A2,A3,A4,A5})$.... ma non ho capito il senso della traccia dato che la copertura lineare in se genera comunque il sottospazio... Come dovrei procedere per risolvere tale esercizio?
Es.1) Se per [tex]$a$[/tex] tu intendessi la prima componente del generico vettore generato dai dati vettori avresti sbagliato a denotare i coefficienti con [tex]$x_i$[/tex], meglio con [tex]$\lambda_i$[/tex]; poi sostituendo l'espressione di [tex]$a$[/tex] nell'originario sistema in luogo di [tex]$x_1$[/tex] dovresti fare analogamente con le altre componenti e vedere se il sistema restasse verificato!
Es.2) NO! T'ho illustrato come calcolarla
Es.2) NO! T'ho illustrato come calcolarla
si per a intendo: $a=-c/2-d/2+f/2-e/2$ analogamente per b: $b=-c/2-d/2+f/2+e/2$ mentre $c,d,e,f$ sono parametri... sono le componenti del vettore generico del sottospazio $U$... quindi risolvendo l'altro sistema (dato che abbiamo detto che $A_1$ e $A_6$ non appartengono ad $U$) dovrebbe risultare incompatibile (quindi i vettori non generano $U$)... giusto?
Per quanto riguarda il secondo: ok, almeno la parte sulla matrice associata al riferimento $R$ penso di averla capita, ora svolgo e ti posto il risultato.... ma sono in alto mare per il calcolo del nuceo e dell'imagine... Per una normale applicazione nel campo reale (cioè tutte le applicazioni lineare $R^n -> R^m$ per intenderci) non ho problemi a trovare nucleo ed immagine... ho letto anche un pò la guida stickata (algebra lineare for dummies) ma veramente non riesco a capire come risolvere questo qui... so che rompo... ma chiedo troppo se ti chiedo di farmi vedere tuttii passaggi per trovare $ker(F)$ e $img(F)$?
Per quanto riguarda il secondo: ok, almeno la parte sulla matrice associata al riferimento $R$ penso di averla capita, ora svolgo e ti posto il risultato.... ma sono in alto mare per il calcolo del nuceo e dell'imagine... Per una normale applicazione nel campo reale (cioè tutte le applicazioni lineare $R^n -> R^m$ per intenderci) non ho problemi a trovare nucleo ed immagine... ho letto anche un pò la guida stickata (algebra lineare for dummies) ma veramente non riesco a capire come risolvere questo qui... so che rompo... ma chiedo troppo se ti chiedo di farmi vedere tuttii passaggi per trovare $ker(F)$ e $img(F)$?
Es.I) Sì, risolvendo nell'altro sistema!
Es.II) Non ti saprei guidare concretamente senza la matrice rappresentativa. Detta [tex]$M$[/tex] ed [tex]$X$[/tex] il vettore associato alla generica matrice come ho fatto io; si possono associare in 6! modi distinti mentre io ne ho scelto uno solo, per il nucleo devi risolvere il sistema matriciale [tex]$MX=\underline0$[/tex] mentre per il l'immagine scrivi [tex]$MX=Y$[/tex]con [tex]$Y$[/tex] il vettore associato alla generica matrice dello spazio immagine! Spero di non essere stato confusionario.
Es.II) Non ti saprei guidare concretamente senza la matrice rappresentativa. Detta [tex]$M$[/tex] ed [tex]$X$[/tex] il vettore associato alla generica matrice come ho fatto io; si possono associare in 6! modi distinti mentre io ne ho scelto uno solo, per il nucleo devi risolvere il sistema matriciale [tex]$MX=\underline0$[/tex] mentre per il l'immagine scrivi [tex]$MX=Y$[/tex]con [tex]$Y$[/tex] il vettore associato alla generica matrice dello spazio immagine! Spero di non essere stato confusionario.
scusa l'ignoranza... quale sarebbe la matrice rappresentativa che ti servirebbe? Colgo l'occasione per chiederti cosa è la matrice C e che ruolo gioca nella risoluzione dell'esercizio...
"ReDirEct__":Penso che in questa tue parole tu possa trovare le risposte, preciso che colei che chiamo [tex]$M$[/tex] tu l'hai chiamata [tex]$M(f;R)$[/tex]!
...Es.2
Questo non ho proprio capito come risolverlo:
Se $C=$$((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))$ si consideri l'applicazione lineare $f:M(2xx3,R) -> M(2xx3,R)$ che alla matrice $X$ di $M(2xx3,R)$ associa la matrice $f(X)=CX$
1) Determinare nucle ed immagine di f
2) Fissato il riferimento $R={E_11,E_21,E_12,E_22,E_13,E_23}$ scrivere la matrice $M(f,R)$ associate ad $f$ nel riferimento $R$
3) Dire se $f$ è diagonalizzabile
Il punto è che non ho capito come trovarmi $f$ e il relativo sistema... cioè so che in $R^2$ ad esempio avrei dovuto fare una cosa del genere:
$f(x,y)=((sqrt(3),1),(-1,sqrt(3)))((x),(y))$... ma come si fa in $M(2xx3,R)$?...
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