Esercizi Topologia
Salve a tutti, facendo qualche esercizio di topologia per l'esame mi sono imbattuto in questo; intuitivamente ci sono, anche perchè non è complicato, ma mi manca la formalizzazione.
Data una retta $LsubRR^2$, cioè $L={(x,y)inRR^2 : ax+by=0}$, con $a,b$ non entrambi nulli, dimostrare che $L$ con la topologia di sottospazio indotta da $RR^2$ con l'euclidea è omemorfo a $RR$ con l'euclidea.
Allora io ho pensato di procedere così: prima di tutto ho definito una funzione $f:L \to RR$ tale che $f(x,y)=x+y$; questa funzione è continua perchè polinomiale, ed è banalmente iniettiva e suriettiva, quindi biunivoca; mi resta da dimostrare che la sua inversa è continua, o, equivalentemente, che $f$ sia aperta; ora per verificare che è aperta, ho pensato di prendere un aperto $VsubL$, che per la definizione di topologia indotta sarà dato dall'intersezione di $L$ con un aperto di $RR^2$, quindi un disco aperto; ora intuitivamente, intersecando $L$ con un disco aperto quello che ottengo è proprio un intervallo aperto, che è aperto in $RR$ con l'euclidea; questa è l'idea, come posso formalizzarla per bene?? Grazie mille anticipatamente per la disponibilità!
Data una retta $LsubRR^2$, cioè $L={(x,y)inRR^2 : ax+by=0}$, con $a,b$ non entrambi nulli, dimostrare che $L$ con la topologia di sottospazio indotta da $RR^2$ con l'euclidea è omemorfo a $RR$ con l'euclidea.
Allora io ho pensato di procedere così: prima di tutto ho definito una funzione $f:L \to RR$ tale che $f(x,y)=x+y$; questa funzione è continua perchè polinomiale, ed è banalmente iniettiva e suriettiva, quindi biunivoca; mi resta da dimostrare che la sua inversa è continua, o, equivalentemente, che $f$ sia aperta; ora per verificare che è aperta, ho pensato di prendere un aperto $VsubL$, che per la definizione di topologia indotta sarà dato dall'intersezione di $L$ con un aperto di $RR^2$, quindi un disco aperto; ora intuitivamente, intersecando $L$ con un disco aperto quello che ottengo è proprio un intervallo aperto, che è aperto in $RR$ con l'euclidea; questa è l'idea, come posso formalizzarla per bene?? Grazie mille anticipatamente per la disponibilità!
Risposte
La tua funzione e' costantemente $0$ se $a=b$.
L'idea pero' non e' sbagliata. Diciamo che l'idea generale e' scrivere la retta in questione in forma parametrica (e questo e' un esercizio facile di algebra lineare) e usare il parametro per definire il tuo omeomorfismo.
Il ragionemento che fai per dimostrare che e' aperta e' giusto. Un disco del piano intersecato con una retta del piano da' proprio un intervallo aperto su quella retta. Per dare una giustificazione precisa, basta osservare che l'intersezione e' connessa (ad esempio perche' intersezione di due conVessi).
L'idea pero' non e' sbagliata. Diciamo che l'idea generale e' scrivere la retta in questione in forma parametrica (e questo e' un esercizio facile di algebra lineare) e usare il parametro per definire il tuo omeomorfismo.
Il ragionemento che fai per dimostrare che e' aperta e' giusto. Un disco del piano intersecato con una retta del piano da' proprio un intervallo aperto su quella retta. Per dare una giustificazione precisa, basta osservare che l'intersezione e' connessa (ad esempio perche' intersezione di due conVessi).
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