Esercizi sulla geometri analitica dello spazio
Ciao ragazzi sto preparando un esame di geometria e mi sto esercitando soprattutto sulle tracce che il mio prof ha messo online, solo che ha postato le tracce senza la soluzione ora io non voglio chiedervi di risolvere l'esercizi ma sareste disposti a dirmi se sbaglio i procedimenti (senza troppi calcoli)?
1.Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano $\RC(O,i,j,k)$, si consideri il piano $\π : 4x+3y−12 = 0$ e la retta $\r : y = z−1 = 0$.
(a) Scrivere l’equazione della sfera Σ passante per i punti $\P(0,4,1)$\ e $\Q(−4,0,1)$ ed avente centro sulla retta r.
(b) Determinare il centro e il raggio della circonferenza $\C = Σ∩π$.
(c) Trovare la retta tangente a $\C$ nel punto $\P$.
Allora
(a) Avendo centro su $\r$ allora $\C(t,0,1)$ inoltre $\ ||CP||=||CQ||$ da cui ricavo $\t=0$ perciò $\C(0,0,1)$ quindi $\R=||CP||=4$ percui $\Σ: x^2+y^2+(z-1)^2=16$.
(b)Per trovare il raggio $\R_C$ di $\C$ sfrutto il teorema di Pitagora con $\R$ come ipotenusa $\dist(C,π)$ come cateto
$\dist(C,π)=(|ax_C+by_C+cz_C+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2))=3$, quindi $\R_C=sqrt(5)$
Mentre per il centro considero la retta $\s bot pi$ e passante per $\C$ utilizzando $\{(x=x_C+ l t),(y=y_C+mt),(z=z_C+nt):}$
da cui ottenso $\s$ in forma paramentrica $\s:{(x=4t),(y=3t),(z=1):}$ ovvero $\s:{(3x-4y=0),(z=1):}$ in forma cartesiana ora cerco dove questa si interseca con il piano $\pi$ impostando il sistema $\{(3x-4y=0),(z=1),(4x+3y-12=0):}$ le cui soluzioni sono le coordinate del centro della circonferenza $\C$ ovvero $\(48/25,36/25,1)$
(c)Considero la retta $\v$ passante per $\P$ e $\C_C$ che ha equazioni cartesiane $\v:{(25x-48y+192=0),(y-4=0),:}$ da qui mi ricavo i parametri direttori e impongo che la retta tangente $\w$ abbia parametri direttori tali che $\v$ e $\w$ siano perpendicolari ($\l_v*l_w+m_v*m_w+n_v*n_w=0)$ e che passi per $\P$ e tramite $\{(x=x_C+ l t),(y=y_C+mt),(z=z_C+nt):}$.
E' tutto giusto? O almeno il procedimento? Viste l'equazioni di $\v$ credo di aver sbagliato qualche conto ma non sono riuscito a trovare l'errore.
1.Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano $\RC(O,i,j,k)$, si consideri il piano $\π : 4x+3y−12 = 0$ e la retta $\r : y = z−1 = 0$.
(a) Scrivere l’equazione della sfera Σ passante per i punti $\P(0,4,1)$\ e $\Q(−4,0,1)$ ed avente centro sulla retta r.
(b) Determinare il centro e il raggio della circonferenza $\C = Σ∩π$.
(c) Trovare la retta tangente a $\C$ nel punto $\P$.
Allora
(a) Avendo centro su $\r$ allora $\C(t,0,1)$ inoltre $\ ||CP||=||CQ||$ da cui ricavo $\t=0$ perciò $\C(0,0,1)$ quindi $\R=||CP||=4$ percui $\Σ: x^2+y^2+(z-1)^2=16$.
(b)Per trovare il raggio $\R_C$ di $\C$ sfrutto il teorema di Pitagora con $\R$ come ipotenusa $\dist(C,π)$ come cateto
$\dist(C,π)=(|ax_C+by_C+cz_C+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2))=3$, quindi $\R_C=sqrt(5)$
Mentre per il centro considero la retta $\s bot pi$ e passante per $\C$ utilizzando $\{(x=x_C+ l t),(y=y_C+mt),(z=z_C+nt):}$
da cui ottenso $\s$ in forma paramentrica $\s:{(x=4t),(y=3t),(z=1):}$ ovvero $\s:{(3x-4y=0),(z=1):}$ in forma cartesiana ora cerco dove questa si interseca con il piano $\pi$ impostando il sistema $\{(3x-4y=0),(z=1),(4x+3y-12=0):}$ le cui soluzioni sono le coordinate del centro della circonferenza $\C$ ovvero $\(48/25,36/25,1)$
(c)Considero la retta $\v$ passante per $\P$ e $\C_C$ che ha equazioni cartesiane $\v:{(25x-48y+192=0),(y-4=0),:}$ da qui mi ricavo i parametri direttori e impongo che la retta tangente $\w$ abbia parametri direttori tali che $\v$ e $\w$ siano perpendicolari ($\l_v*l_w+m_v*m_w+n_v*n_w=0)$ e che passi per $\P$ e tramite $\{(x=x_C+ l t),(y=y_C+mt),(z=z_C+nt):}$.
E' tutto giusto? O almeno il procedimento? Viste l'equazioni di $\v$ credo di aver sbagliato qualche conto ma non sono riuscito a trovare l'errore.
Risposte
I primi due sono corretti. Per l'ultima puoi ragionare più velocemente così: la retta che cerchi passa per $P$, appartiene al piano e deve risultare perpendicolare alla retta passante per $P$ e per il centro della circonferenza. Ora, la tua retta deve avere equazioni parametriche
$$x=\alpha t,\quad y=4+\beta t,\quad z=1+\gamma t$$
Poiché appartiene al piano, la sua direzione è ortogonale alla normale al piano, per cui
$$(\alpha,\beta,\gamma)\bullet(4,3,0)=0\ \Rightarrow\ 4\alpha+3\beta=0$$
Inoltre la perpendicolarità alla retta "raggio" della circonferenza implica che
$$(\alpha,\beta,\gamma)\bullet(48/25,-64/25,0)=0\ \Rightarrow\ 48\alpha-64\beta=0\ \Rightarrow\ 3\alpha-4\beta=0$$
Risolvendo il sistema in $\alpha,\beta$ si torva $\alpha=\beta=0$, per cui la retta ha equazione (scelgo $\gamma=1$ perché è un parametro libero)
$$x=0,\quad y=4,\ z=1+t$$
$$x=\alpha t,\quad y=4+\beta t,\quad z=1+\gamma t$$
Poiché appartiene al piano, la sua direzione è ortogonale alla normale al piano, per cui
$$(\alpha,\beta,\gamma)\bullet(4,3,0)=0\ \Rightarrow\ 4\alpha+3\beta=0$$
Inoltre la perpendicolarità alla retta "raggio" della circonferenza implica che
$$(\alpha,\beta,\gamma)\bullet(48/25,-64/25,0)=0\ \Rightarrow\ 48\alpha-64\beta=0\ \Rightarrow\ 3\alpha-4\beta=0$$
Risolvendo il sistema in $\alpha,\beta$ si torva $\alpha=\beta=0$, per cui la retta ha equazione (scelgo $\gamma=1$ perché è un parametro libero)
$$x=0,\quad y=4,\ z=1+t$$
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