Esercizi sul gruppo fondamentale
Ciao a tutti.. ho provato a fare questi esercizi ma non so se sono giusti e vorrei dei vostri giudizi..
Si considerino in $RR^3$ le rette $r:x=y=0$ e $s:z=o, x=1$. Sia $X=RR^3-{r U s}$ il sottospazio di $RR^3$ con topologia indotta da quella euclidea .
i)Calcola il gruppo fondamentale di $X$
Io ho visto $X=pi - {ret ta x=1} xx pi_1 - {ret ta y=0} xx pi_2 $ dove $pi_i$ sono i piani orizzontali e verticali dello spazio. allora il gruppo fondamentale è isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali. Ma le tre componenti sono tutti convessi in $RR^2$ quindi contrattili e perciò il loro gruppo fondamentale è quello banale.. e cosi è pure per lo spazio $X$ iniziale.. giusto??
ii) calcola il gruppo fondamentale di base $p_0 in S_1$ di $S_1 uu S_2$ dove $S_1 $ ed $S_2 $ denotano due circonferenze nel piano euclideo.
Se le circonferenze sono esterne allora il gruppo fondamentale è quello di una sola circonferenza..cioè quella che contiene $p_0$, ed è isomorfo a $ZZ$.
Se le circonferenze sono tangenti allora ho un bouquet di 2 circonferenze ed ho il gruppo fondamentale banale.
Se sono secanti cosa posso dire?? .. ho pensato di usare Van Kampen ma l'intersezione non è connessa per archi..
I ragionamenti che ho fatto sono corretti??
Grazie mille =)
Si considerino in $RR^3$ le rette $r:x=y=0$ e $s:z=o, x=1$. Sia $X=RR^3-{r U s}$ il sottospazio di $RR^3$ con topologia indotta da quella euclidea .
i)Calcola il gruppo fondamentale di $X$
Io ho visto $X=pi - {ret ta x=1} xx pi_1 - {ret ta y=0} xx pi_2 $ dove $pi_i$ sono i piani orizzontali e verticali dello spazio. allora il gruppo fondamentale è isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali. Ma le tre componenti sono tutti convessi in $RR^2$ quindi contrattili e perciò il loro gruppo fondamentale è quello banale.. e cosi è pure per lo spazio $X$ iniziale.. giusto??
ii) calcola il gruppo fondamentale di base $p_0 in S_1$ di $S_1 uu S_2$ dove $S_1 $ ed $S_2 $ denotano due circonferenze nel piano euclideo.
Se le circonferenze sono esterne allora il gruppo fondamentale è quello di una sola circonferenza..cioè quella che contiene $p_0$, ed è isomorfo a $ZZ$.
Se le circonferenze sono tangenti allora ho un bouquet di 2 circonferenze ed ho il gruppo fondamentale banale.
Se sono secanti cosa posso dire?? .. ho pensato di usare Van Kampen ma l'intersezione non è connessa per archi..
I ragionamenti che ho fatto sono corretti??
Grazie mille =)
Risposte
1]Siano $ P_1, P_2,.... ,P_n$ punti distinti del Toro.
Trovare
il gruppo fondamentale di $X = S^1 xx S^1-{P_1,...,P_n}$.
Se il punto è uno solo allora se $S$ e $S'$ sono due circonferenze ortogonali nel toro $T$, $ U=T-S$ e $U'=T-S'$ sono entrambi cilindri, quindi il loro gruppo fondamentale e' $ZZ$.
$U$ unione $U'$ e' proprio il toro meno un punto, $U nn U'$ e' $(0,1) xx (0, 1)$, quindi semplicemente connesso, quindi per Van-Kampen il gruppo fondamentale del toro meno un punto e' $ZZ**ZZ$.
Se i punti sono più di uno..ogni punto è intersezione di due circonferenze ortogonali tra loro..siano allora $P_1=C_1 nn C_1'$ e $P_2=C_2 nn C_2'$ i due punti che andiamo a togliere..$X=T-{P_1,P_2}=A uu A' uu B uu B'$ dove $A=T-C_1$,$A'=T-C_1'$,$B=T-C_2$ e $B'=T-C_2'$.
Poiché le intersezioni a due a due degli aperti $A,A',B,B'$ sono proprio $(0,1) xx (0,1)$,semplicemente connesso,allora $pi(X)=ZZ ** ZZ ** ZZ ** ZZ$.. in generale se tolgo $n$ punti al toro il gruppo fondamentale che ottengo è quello libero su $2n$ generatori..
2]Si calcoli il gruppo fondamentale di $S^2 uu r_1 uu ... uu r_n$ dove
$r_1,r_2,..., r_n$ sono raggi distinti della sfera.
Chiamo $X=S^2 uu r_1 uu... uu r_n$. Osservo che $S^2$ è retratto di deformazione di $X$ tramite l'omotopia $F:X xx I->X$ e tale che $F(x,t)=(1-t)x+tx/(||x||)$. E quindi $pi(X)={0}$. Spero almeno questo sia riuscita a farlo bene
!!
Trovare
il gruppo fondamentale di $X = S^1 xx S^1-{P_1,...,P_n}$.
Se il punto è uno solo allora se $S$ e $S'$ sono due circonferenze ortogonali nel toro $T$, $ U=T-S$ e $U'=T-S'$ sono entrambi cilindri, quindi il loro gruppo fondamentale e' $ZZ$.
$U$ unione $U'$ e' proprio il toro meno un punto, $U nn U'$ e' $(0,1) xx (0, 1)$, quindi semplicemente connesso, quindi per Van-Kampen il gruppo fondamentale del toro meno un punto e' $ZZ**ZZ$.
Se i punti sono più di uno..ogni punto è intersezione di due circonferenze ortogonali tra loro..siano allora $P_1=C_1 nn C_1'$ e $P_2=C_2 nn C_2'$ i due punti che andiamo a togliere..$X=T-{P_1,P_2}=A uu A' uu B uu B'$ dove $A=T-C_1$,$A'=T-C_1'$,$B=T-C_2$ e $B'=T-C_2'$.
Poiché le intersezioni a due a due degli aperti $A,A',B,B'$ sono proprio $(0,1) xx (0,1)$,semplicemente connesso,allora $pi(X)=ZZ ** ZZ ** ZZ ** ZZ$.. in generale se tolgo $n$ punti al toro il gruppo fondamentale che ottengo è quello libero su $2n$ generatori..
2]Si calcoli il gruppo fondamentale di $S^2 uu r_1 uu ... uu r_n$ dove
$r_1,r_2,..., r_n$ sono raggi distinti della sfera.
Chiamo $X=S^2 uu r_1 uu... uu r_n$. Osservo che $S^2$ è retratto di deformazione di $X$ tramite l'omotopia $F:X xx I->X$ e tale che $F(x,t)=(1-t)x+tx/(||x||)$. E quindi $pi(X)={0}$. Spero almeno questo sia riuscita a farlo bene
!!
\(S^2\) NON è un retratto di deformazione di \(X\). Un retratto di deformazione di \(X\) è \(S^2 \wedge \left( \bigwedge^{n-1} S^1 \right).\)
perdonami ma non leggo bene qual'è un retratto di deformazione di $X$.. 
Sarebbe la sfera alla quale sono state incollate nello stesso punto \(n-1\) circonferenze.
non la riesco a vedere questa retrazione.. mi viene più naturale proiettare i raggi sul punto in cui intersecano la sfera..e riottenere la stessa..
Ma i raggi si intersecano tutti al centro della sfera.. L'origine dove la proietteresti? Per vedere questa retrazione è necessario prima contrarre i punti in cui i raggi incontrano la sfera in un solo punto e poi contrarre uno dei raggi.
Buongiorno, in merito all'esercizo sulla sfera ed n raggi, se prendo un punto diverso dagli n punti di intersezione tra sfera e raggi e proietto dal in questione i diversi raggi sulla sfera (tramite la retta passante per il punto e i punti dei raggi e intersecandola con la sfera), l'origine va in un singolo punto e la sfera va nella sfera, inoltre questa proiezione è l'identitá sulla sfera, quindi così facendo non ho una retrazione dalla sfera ad X?
È abbastanza semplice vedere che i due spazi non hanno lo stesso gruppo fondamentale. Considera un qualsiasi arco tra quelli che percorrono due raggi diversi e uniscono le due intersezioni. Non c'è alcuna omotopia che mandi tale arco nell'arco costante. Il gruppo fondamentale ha quindi almeno un elemento non nullo mentre non esiste alcun elemento simile nel gruppo fondamentale della sfera. Abbiamo quindi che quella che hai definito non può essere una retrazione dalla sfera ad X..
Qual'è la definizione di retrazione? Quali condizioni deve rispettare?
Qual'è la definizione di retrazione? Quali condizioni deve rispettare?
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