Esercizi sul gruppo fondamentale

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. ho provato a fare questi esercizi ma non so se sono giusti e vorrei dei vostri giudizi..

Si considerino in $RR^3$ le rette $r:x=y=0$ e $s:z=o, x=1$. Sia $X=RR^3-{r U s}$ il sottospazio di $RR^3$ con topologia indotta da quella euclidea .

i)Calcola il gruppo fondamentale di $X$

Io ho visto $X=pi - {ret ta x=1} xx pi_1 - {ret ta y=0} xx pi_2 $ dove $pi_i$ sono i piani orizzontali e verticali dello spazio. allora il gruppo fondamentale è isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali. Ma le tre componenti sono tutti convessi in $RR^2$ quindi contrattili e perciò il loro gruppo fondamentale è quello banale.. e cosi è pure per lo spazio $X$ iniziale.. giusto??

ii) calcola il gruppo fondamentale di base $p_0 in S_1$ di $S_1 uu S_2$ dove $S_1 $ ed $S_2 $ denotano due circonferenze nel piano euclideo.

Se le circonferenze sono esterne allora il gruppo fondamentale è quello di una sola circonferenza..cioè quella che contiene $p_0$, ed è isomorfo a $ZZ$.

Se le circonferenze sono tangenti allora ho un bouquet di 2 circonferenze ed ho il gruppo fondamentale banale.

Se sono secanti cosa posso dire?? .. ho pensato di usare Van Kampen ma l'intersezione non è connessa per archi..

I ragionamenti che ho fatto sono corretti??

Grazie mille =)

[studentessa CdLmate]

degli aperti per cui $X=U_1 uu U_2$

[maurer]

Allora è falso in generale che [tex]\pi_1(X,x_0) = \pi_1(U_1,x_0) * \pi_1(U_2,x_0)[/tex]. Volevi applicare Van Kampen? Ma devi controllare che le ipotesi sull'intersezione [tex]U_1 \cap U_2[/tex] siano soddisfatte! Però quei due aperti puoi sceglierli in maniera molto intelligente... Dai, non è difficile!

Ho letto meglio il tuo intervento precedente. L'idea della sfera è giusta. Dovresti applicarla quando sei ancora sulla varietà, se capisci cosa intendo...

[studentessa CdLmate]

mmh veramente no.. ho pensato che nella n-varietà posso scegliere degli aperti $Y_1$ e $Y_2$ la cui unione è tutto $X$ ma la loro intersezione non contiene il punto che poi andremo a togliere ed inoltre è omeomorfa ad $RR^n$.. con questo posso dire che $π_1(X,x_0)=π_1(Y_1,x_0)∗π_1(Y_2,x_0)$ perchè l'intersezione $Y_1 nn Y_2$ è contrattile.. però poi mi perdo..

[maurer]

Ok, scrivo l'idea che avevo.

Sia [tex]U[/tex] un intorno di [tex]P[/tex] omeomorfo alla palla [tex]B_r(\mathbf 0) \subset \mathbb R^3[/tex]. Sia [tex]\varphi[/tex] l'omeomorfismo in questione, scelto in modo che [tex]\varphi(P) = \mathbf 0[/tex]. Sia [tex]C := \varphi^{-1}(\overline{B_{r/2}(\mathbf 0)})[/tex], sia [tex]V := X \setminus \{P\}[/tex]. Allora [tex]U \cap V[/tex] è omeomorfo ad una "corona circolare" (precisamente a [tex]\{\mathbf x \in \mathbb R^3 \mid 0 < \| \mathbf x \| < r\}[/tex]), che si retrae deformandosi su una sfera 2-dimensionale e quindi [tex]\pi_1(U\cap V,x_0) = 0[/tex]. Ora, per Van Kampen otteniamo [tex]\pi_1(X,x_0) = \pi_1(U,x_0) * \pi_1(V,x_0)[/tex]; tuttavia [tex]\pi_1(U,x_0) = 0[/tex] perché [tex]U[/tex] è contraibile, e quindi segue la nostra tesi.

Ti è chiaro? Saresti riuscita a farlo, se ci avessi pensato un po' di più?

[studentessa CdLmate]

Mmh credo proprio di no!! .. ancora non capisco bene quello che hai scritto!! Grazie comunque parecchie cose mi appaiono più chiare

[maurer]

Speravo che la risposta fosse sì...
Se hai dubbi / domande vai pure avanti a chiedere!

[studentessa CdLmate]

sono io lenta a capire le cose comunque.. $U nn V $ sarebbe un disco aperto meno un punto.. tutto questo lo posso retrarre quindi sulla sfera $S^2$ che sappiamo essere semplicemente connessa.. giusto?? per il resto ora ho capito graziee!!

[maurer]

Sì, questo vale più generalmente in [tex]\mathbb R^n[/tex]. Ti scrivo esplicitamente: hai l'insieme [tex]X = \{\mathbf x \in \mathbb R^n \mid 0 < \| \mathbf x \| < 2\}[/tex] (la prendo di raggio 2, tanto non cambia nulla). Allora considera la mappa [tex]\varphi \colon X \to \mathcal S^{n-1}[/tex] definita da [tex]\varphi(\mathbf x) := \frac{\mathbf x}{\| \mathbf x \|}[/tex]. Allora questa è una retrazione dell'inclusione [tex]\iota \colon \mathcal S^{n-1} \hookrightarrow X[/tex]. E' un retratto di deformazione? Beh, possiamo considerare l'omotopia [tex]\Phi \colon X \times I \to X[/tex] definita da [tex]\Phi(\mathbf x, t) := t \mathbf x + (1-t) \frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|}[/tex]. Questa mappa è ben definita; in particolare la norma di [tex]\Phi(\mathbf x,t)[/tex] è sempre minore di 2. Succede che [tex]\Phi(\mathbf x,1) = \text{id}_X[/tex] e [tex]\Phi(\mathbf x,0) = i \circ \varphi(\mathbf x)[/tex]. Quindi [tex]\text{id}_X[/tex] è omotopa a [tex]i \circ \varphi[/tex] e invece [tex]\varphi \circ i = \text{id}_{\mathcal S^{n-1}}[/tex]. Pertanto [tex]i, \varphi[/tex] determinano un'equivalenza omotopica (che, in questo caso è semplicemente un retratto di deformazione).

Vorrei che mi dicessi: "sì, è topologicamente intuitivo!"

[studentessa CdLmate]

"maurer": Succede che [tex]\Phi(\mathbf x,1) = \text{id}_X[/tex] e [tex]\Phi(\mathbf x,1) = i \circ \varphi(\mathbf x)[/tex].

non dovrebbe essere $Phi(x,0)=i @ varphi(x)$??

[maurer]

Sì, certo! Ho editato!

[studentessa CdLmate]

ok.. ora lo posso dire.. "è topologicamente intuitivo"!! se passerò l'esame sarà anche grazie ai tuoi consigli!! grazie grazie!!

[maurer]

Intanto, visto che sei fresca, perché non rispondi a questo?

[studentessa CdLmate]

"maurer":Vuoi un altro esercizio divertente? Prova a calcolare il primo gruppo fondamentale di [tex]\mathbb R^3[/tex] meno due rette che si incontrano in un punto! Questo potrebbe essere piuttosto difficile, però... (a meno che non ci sia un modo intelligente diverso da quello che ho pensato io!). Enjoy!

ho provato a fare questo esercizio.. ho osservato innanzitutto che se le due rette $r$ ed $s$ si incontrano in un punto allora sono per forza di cose sono complanari.. quindi sia $alpha$ il piano su cui giacciono.. a meno di rotazioni e traslazioni posso pensare $alpha$ parallelo e coincidente ad un piano fondamentale dello spazio.. mettiamo al piano $x=0$.
Ora scrivo $RR^3=X_1 xx RR^2 uu X_2 xx RR^2$,con $X_1={x > -1}-r$ e $X_2={x<-1/2}-s$.
Osservo che $X_1 nn X_2={-1 Allora per Van Kampen so che $pi(RR^3-{r,s})=pi(X_1 xx RR^2)**pi(X_2 xx RR^2)=ZZ**ZZ$ poichè $X_1 xx RR^2$ e $X_2 xx RR^2$ sono omeomorfi ad $RR^3-r$ e a $RR^3-s$ rispettivamente; i quali hanno come retratto di deformazione forte $S^1$.

[apatriarca]

Ho anche io voglia di dare il mio contributo su quest'ultimo esercizio. Una dimostrazione senza uso di Van Kampen, ma solo l'invarianza del gruppo fondamentale per omotopie. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che le due rette siano le rette \( r_1 : \{x = y, z = 0\}\) e \( r_2 : \{x = -y, z = 0\} \) e che il punto di intersezione sia l'origine (è sufficiente applicare una trasformazione affine). Attraverso la solita mappa \( H(x,t) = (1 - t)\,x + t \, x/|x|, \; \) questo spazio è omotopo alla sfera senza i punti \( (\pm \sqrt{2}/2, \pm \sqrt{2}/2, 0) \) e \( (\pm \sqrt{2}/2, \mp \sqrt{2}/2, 0). \) Consideriamo quindi l'intersezione tra la sfera e i piani XZ e YZ. I due grandi cerchi corrispondenti dividono la sfera in 4 celle, ognuna con un solo punto all'interno e creiamo quindi una omotopia che manda ogni punto in una cella sul bordo di tale cella navigando attraverso il grande cerchio dato dal punto eliminato interno alla cella, al punto antipodale di tale punto eliminato e il punto che stiamo considerando (si può definire attraverso l'interpolazione sferica). La mappa è continua e quindi abbiamo un'altra omotopia tra la sfera senza quattro punti e due circonferenze che si incontrano in due punti. A questo punto, contraendo uno degli archi di circonferenza, si ottiene un wedge di tre circonferenze il cui gruppo fondamentale è il gruppo libero con tre generatori. Sarà giusto?

[maurer]

Ottimo. L'avevo pensato come apatriarca, grossomodo. Forse più semplice è fare così: sia [tex]X[/tex] lo spazio [tex]\mathbb R^3[/tex] privato delle rette [tex]r[/tex] ed [tex]s[/tex], che possiamo supporre incontrarsi nell'origine. Allora esiste un retratto di deformazione di [tex]X[/tex] su [tex]\mathcal S^2[/tex] meno quattro punti. Usiamo la proiezione stereografica della sfera proiettando da un punto mancante: otteniamo un omeomorfismo con il piano meno tre punti, che ha come primo gruppo fondamentale il gruppo libero su tre generatori.

Ecco, io userei Van Kampen per ovviare alla mia estrema pigrizia: per dimostrare che il piano meno tre punti ha quel primo gruppo fondamentale, userei l'induzione e Van Kampen, isolando un punto alla volta. Come si dice: soluzione di forza bruta!

Ok... ho dato la soluzione anche al quesito in "Pensare un po' di Più"...

[apatriarca]

Io ho invece una certa resistenza all'uso di teoremi come Van Kampen quando si tratta di teoremi concreti come questo. Mi piace pensare alle diverse trasformazioni omotope. Nel caso generale lo utilizzerei di sicuro, ma per pochi punti trovo più divertente lavorare direttamente con le omotopie.

[maurer]

Questione di gusti... In ogni caso, la cosa più importante è: studentessa CdLmate ha capito almeno uno dei due ragionamenti?

[studentessa CdLmate]

"apatriarca":creiamo quindi una omotopia che manda ogni punto in una cella sul bordo di tale cella navigando attraverso il grande cerchio dato dal punto eliminato interno alla cella, al punto antipodale di tale punto eliminato e il punto che stiamo considerando (si può definire attraverso l'interpolazione sferica).

Non ho capito come mando il punto,diverso da quello che abbiamo tolto, dall'interno della cella al bordo della stessa..
Avrei un'altra domanda.. avendo da poco studiato il gruppo fondamentale,per calcolarlo so solo che posso usare Van Kampen se riesco ad esprimere lo spazio come unione di aperti connessi per archi e tutte le ipotesi che ne seguono... posso cercare di esprimere il mio spazio come prodotto di spazi di cui conosco il gruppo fondamentale e quindi calcolare quello di quest'ultimo... o,ancora,posso cercare secondi spazi omotopicamente equivalenti a quello che mi interessa perchè so che in questo caso hanno stesso gruppo fondamentale.. però..apatriarca, del metodo che hai usato per questo esercizio proprio non me ne hanno mai parlato nemmeno a lezione... potresti illuminarmi e spiegarmelo meglio.. avendo uno spazio $X$ di cui voglio calcolarne il gruppo fondamentale..qual'è l'obiettivo che mi devo porre??.. ho visto che hai parlato di semplici omotopie e non di stesso tipo di omotopia.. spero di non aver chiesto una cosa banale.. data l'ora potrei pure averlo fatto!!..

Grazie

"maurer":Allora esiste un retratto di deformazione di [tex]X[/tex] su [tex]\mathcal S^2[/tex] meno quattro punti. Usiamo la proiezione stereografica della sfera proiettando da un punto mancante: otteniamo un omeomorfismo con il piano meno tre punti, che ha come primo gruppo fondamentale il gruppo libero su tre generatori.

come usi la proiezione stereografica??.. nel senso dobbiamo esibire la retrazione da [tex]X[/tex] su [tex]\mathcal S^2[/tex] meno quattro punti ma la proiezione non può essere.. o sbaglio?? ..

[apatriarca]

Ammetto di non essere stato del tutto rigoroso e preciso nel descrivere i vari passaggi. Ogni volta che ho discusso di una qualche omotopia, stavo in realtà affermando che il nuovo spazio era un retratto di deformazione di quello vecchio. Affermare che \(A \subset X\) è un retratto di deformazione di \(X\) è infatti equivalente a fornire una homotopia \(H : X \times [0,1] \to X\) tale che \(H(x,0) = x\), \(H(x,1) \in A\) e \(H(a,t) = a\) per ogni \(a \in A, x \in X, t \in [0,1].\) Immagino che questo tu l'abbia visto. Per cui, per mostrare che la sfera senza \(4\) punti è un retratto di deformazione dello spazio senza \(2\) rette incidenti ho definito una omotopia con quelle caratteristiche. Lo stesso nei passaggi successivi. Ammetto che il passaggio successivo dalla cella al bordo è un po' complicato da scrivere in formule. In pratica prendo la circonferenza che passa per il punto e i due punti eliminati antipodali. Questa circonferenza avrà due punti di intersezione con il bordo della cella e scelgo quello più vicino dei due (lo chiamo \(q\)). A questo punto definisco la mia omotopia come la mappa \(H(p,t)\) per cui \(H(p,0\) = p\), \(H(p,1) = q\) e \(H(p,t) = p\,\sin((1 - t)\,\Omega)/\sin(\Omega) + q\,\sin(t\,\Omega)/\sin(\Omega)\) che è l'interpolazione sferica tra \(p\) e \(q\). \(\Omega\) è l'angolo tra i due punti.

L'idea alla base della proiezione stereografica è più o meno la stessa, ma questa volta hai un vero e proprio omeomorfismo e non solo un retratto di deformazione.

[studentessa CdLmate]

ho capito quella con la proiezione stereografica grazie grazie grazie ad entrambi se non capisco qualcos'altro tornerò a chiedere