Esercizi sui vettori
Ciao a tutti ragazzi non so come risolvere questo esercizio, qualcuno può aiutarmi?
Siano v1= 2i+j e v2= i+3j vettori del piano euclideo. Determinare le componenti del versore di v1 e del versore di v2
e l'angolo compreso tra di essi.
grazie in anticipo
Siano v1= 2i+j e v2= i+3j vettori del piano euclideo. Determinare le componenti del versore di v1 e del versore di v2
e l'angolo compreso tra di essi.
grazie in anticipo
Risposte
Benvenuto! Perché \(\hat{\mathbf{v}}_i\) sia un versore deve avere norma unitaria, cioè, con quella base ortogonale \(\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\) si deve avere che il prodotto scalare standard delle coordinate del vettore per se stesse (che è il quadrato della norma, unitario se e solo se è unitaria la norma) sia 1. In poche parole si deve dividere ogni coordinata di \(\mathbf{v}_i\) per la norma \(\|\mathbf{v}_i\|\), cioè la radice del prodotto scalare standard delle coordinate di \(\mathbf{v}_i\) per se stesse (cioè la radice della somma dei quadrati delle coordinate), in modo da avere
\[\|\hat{\mathbf{v}}_i\|^2=\langle\hat{\mathbf{v}}_i,\hat{\mathbf{v}}_i\rangle=\langle \|\mathbf{v}_i\|^{-1}\mathbf{v}_i,\|\mathbf{v}_i\|^{-1}\mathbf{v}_i\rangle=1\]
e quindi \(\|\hat{\mathbf{v}}_i\|=1\).
Nel nostro caso \(\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\) e \(\|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) e quindi, dividendo le coordinate hai i versori $\hat{\mathbf{v}}_1=\frac{2}{\sqrt{5}} \mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{j}$ e $\hat{\mathbf{v}}_2=\frac{1}{\sqrt{10}} \mathbf{i}+\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{j}$ che, come vedi, hanno il prodotto scalare standard delle coordinate per se stesse, cioè la somma dei loro quadrati, uguale a 1.
Ciao!
\[\|\hat{\mathbf{v}}_i\|^2=\langle\hat{\mathbf{v}}_i,\hat{\mathbf{v}}_i\rangle=\langle \|\mathbf{v}_i\|^{-1}\mathbf{v}_i,\|\mathbf{v}_i\|^{-1}\mathbf{v}_i\rangle=1\]
e quindi \(\|\hat{\mathbf{v}}_i\|=1\).
Nel nostro caso \(\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\) e \(\|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) e quindi, dividendo le coordinate hai i versori $\hat{\mathbf{v}}_1=\frac{2}{\sqrt{5}} \mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{j}$ e $\hat{\mathbf{v}}_2=\frac{1}{\sqrt{10}} \mathbf{i}+\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{j}$ che, come vedi, hanno il prodotto scalare standard delle coordinate per se stesse, cioè la somma dei loro quadrati, uguale a 1.
Ciao!
grazie mille 
perfetto!
ho altri 2 esercizi che non riesco a fare, non ho creato una nuova discussione per non fare confusione li metto qui:
1) Esprimere il vettore v= (2, -1 , 1) come somma del vettore v1 parallelo al vettore w1= (0,1,1) e di un vettore v2 complanare coi vettori w2 = (1,2,0) e w3= (2,0,1).
2) Siano v1= i+j e v2= i-2j vettori del piano. Determinare la componente ortogonale di v1 secondo una retta parallela e concorde col versore di v2 ed anche le componenti del vettore proiezione ortogonale di v1 su tale retta.
grazie in anticipo
perfetto!ho altri 2 esercizi che non riesco a fare, non ho creato una nuova discussione per non fare confusione li metto qui:
1) Esprimere il vettore v= (2, -1 , 1) come somma del vettore v1 parallelo al vettore w1= (0,1,1) e di un vettore v2 complanare coi vettori w2 = (1,2,0) e w3= (2,0,1).
2) Siano v1= i+j e v2= i-2j vettori del piano. Determinare la componente ortogonale di v1 secondo una retta parallela e concorde col versore di v2 ed anche le componenti del vettore proiezione ortogonale di v1 su tale retta.
grazie in anticipo
Prego! Per quanto riguarda l'angolo tra i vettori del primo esercizio del thread, l'angolo tra due vettori $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$ di uno spazio vettoriale euclideo è, per definizione, \(\arccos\frac{\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}{\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|}\) (e se sono due versori il denominatore è 1), quindi, nel tuo caso, l'angolo è \(\arccos\Big(\frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{5}\sqrt{10}}\Big)=\frac{\pi}{4}\). In casi come questi in cui esiste un'interpretazione riconducibile al concetto di angolo nella geometria elementare, l'angolo così calcolato corrisponde, come sicuramente trovi dimostrato nei tuoi testi, proprio a quello che si intende per angolo nella geometria elementare.
Per quanto riguarda gli altri due esercizi saprai che un vettore di uno spazio vettoriale euclideo \(V\) si può esprimere, in maniera unica, come somma di vettori appartenenti a sottospazi ortogonali detti complementi ortogonali, cioè tali che la loro somma è tutto $V$.
Saprai anche che, per calcolare la proiezione di un vettore \(\mathbf{v}\in V\) su un sottospazio \(W\subset V\) di dimensione $k$, basta (naturalmente sapendo la teoria sottostante, che ti consiglio comunque di rivedere un po' per assimilarla) applicare -chiamando \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_k\}\) una base ortogonale di $W$- la formula\[\text{proj}_{W}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{k}\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle}{\|\mathbf{e}_i\|^2}\mathbf{e}_i \]
Quindi direi che
1) La proiezione di \(\mathbf{v}\) parallela a \(\mathbf{w}_1\), cioè la proiezione sul sottospazio \(\text{Span}(\mathbf{w}_1)\) è \(\mathbf{0}\) (sono ortogonali) e d'altra parte \(\mathbf{v}\) non è complanare a \(\mathbf{w}_2\) e \(\mathbf{w}_3\), cioè non appartiene a \(\text{Span}(\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3)=W\), quindi direi proprio che non si possa esprimere \(\mathbf{v}\) come somma di un \(\mathbf{v}_1\in \text{Span}(\mathbf{w}_1)\) e di un \(\mathbf{v}_2\in W\)...
Avresti comunque potuto calcolare la proiezione su $W$ con la formula di sopra, dopo esserti trovato una base ortogonale, per esempio con il procedimento di Gram-Schmidt (non ti voglio confondere le idee se non lo conoscessi... comunque io ho trovato come base ortogonale di $W$ la base \(\{(1,2,0),(8,-4,5)\}\)) e \(\mathbf{v}-\text{proj}_W(\mathbf{v})\) sarebbe la proiezione sul sottospazio ortogonale a $W$, per l'unicità dell'espressione di un vettore come somma di vettori appartenenti a complementi ortogonali.
2) Qui possiamo applicare il fatto che \(\mathbf{v}_1\) si può esprimere -oltretutto in forma unica- come somma di un vettore appartenente al sottospazio \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\) generato da \(\mathbf{v}_2\) e di un altro appartenente al complemento ortogonale di \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\), cioè il sottospazio di tutti i vettori ortogonali a \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\), che in questo caso ha dimensione 1. La proiezione ortogonale di \(\mathbf{v}_1\) sulla retta generata da \(\mathbf{v}_2\) è \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=\frac{\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}{\|\mathbf{v}_2\|^2}\mathbf{v}_2\) (se scrivessimo il versore \(\|\mathbf{v}_2\|^{-1}\mathbf{v}_2\) invece di \(\mathbf{v}_2\) tutto ciò che cambia è che potremmo ignorare quel quadrato della norma a denominatore) e quindi \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=(-\frac{1}{5},\frac{2}{5})\). Ortogonale a \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)\) è, per quanto detto sopra sull'unicità della rappresentazione di un vettore come somma di elementi appartenenti a complementi ortogonali, \(\mathbf{v}-\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=(\frac{6}{5},\frac{3}{5})\).
Ciao!
Per quanto riguarda gli altri due esercizi saprai che un vettore di uno spazio vettoriale euclideo \(V\) si può esprimere, in maniera unica, come somma di vettori appartenenti a sottospazi ortogonali detti complementi ortogonali, cioè tali che la loro somma è tutto $V$.
Saprai anche che, per calcolare la proiezione di un vettore \(\mathbf{v}\in V\) su un sottospazio \(W\subset V\) di dimensione $k$, basta (naturalmente sapendo la teoria sottostante, che ti consiglio comunque di rivedere un po' per assimilarla) applicare -chiamando \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_k\}\) una base ortogonale di $W$- la formula\[\text{proj}_{W}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{k}\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle}{\|\mathbf{e}_i\|^2}\mathbf{e}_i \]
Quindi direi che
1) La proiezione di \(\mathbf{v}\) parallela a \(\mathbf{w}_1\), cioè la proiezione sul sottospazio \(\text{Span}(\mathbf{w}_1)\) è \(\mathbf{0}\) (sono ortogonali) e d'altra parte \(\mathbf{v}\) non è complanare a \(\mathbf{w}_2\) e \(\mathbf{w}_3\), cioè non appartiene a \(\text{Span}(\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3)=W\), quindi direi proprio che non si possa esprimere \(\mathbf{v}\) come somma di un \(\mathbf{v}_1\in \text{Span}(\mathbf{w}_1)\) e di un \(\mathbf{v}_2\in W\)...
Avresti comunque potuto calcolare la proiezione su $W$ con la formula di sopra, dopo esserti trovato una base ortogonale, per esempio con il procedimento di Gram-Schmidt (non ti voglio confondere le idee se non lo conoscessi... comunque io ho trovato come base ortogonale di $W$ la base \(\{(1,2,0),(8,-4,5)\}\)) e \(\mathbf{v}-\text{proj}_W(\mathbf{v})\) sarebbe la proiezione sul sottospazio ortogonale a $W$, per l'unicità dell'espressione di un vettore come somma di vettori appartenenti a complementi ortogonali.
2) Qui possiamo applicare il fatto che \(\mathbf{v}_1\) si può esprimere -oltretutto in forma unica- come somma di un vettore appartenente al sottospazio \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\) generato da \(\mathbf{v}_2\) e di un altro appartenente al complemento ortogonale di \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\), cioè il sottospazio di tutti i vettori ortogonali a \(\text{Span}(\mathbf{v}_2)\), che in questo caso ha dimensione 1. La proiezione ortogonale di \(\mathbf{v}_1\) sulla retta generata da \(\mathbf{v}_2\) è \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=\frac{\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}{\|\mathbf{v}_2\|^2}\mathbf{v}_2\) (se scrivessimo il versore \(\|\mathbf{v}_2\|^{-1}\mathbf{v}_2\) invece di \(\mathbf{v}_2\) tutto ciò che cambia è che potremmo ignorare quel quadrato della norma a denominatore) e quindi \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=(-\frac{1}{5},\frac{2}{5})\). Ortogonale a \(\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)\) è, per quanto detto sopra sull'unicità della rappresentazione di un vettore come somma di elementi appartenenti a complementi ortogonali, \(\mathbf{v}-\text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{v}_1)=(\frac{6}{5},\frac{3}{5})\).
Ciao!
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