Esercizi sui funzionali lineari
Ciao! In questi giorni ho studiato i funzionali lineari, qui raccolgo alcuni esercizi su cui mi piacerebbe avere la vostra opinione!
i) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{K}$ e sia $phi$ un funzionale lineare non nullo su $V$. Determinare la dimensione di \(\displaystyle \ker\phi \).
Siccome fissata una base $V$ è isomorfo a $\mathbb{K}^n$ per $n$ opportuno, risulta \(\displaystyle \phi: \mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K} \) e vale la formula \(\displaystyle \dim\mathbb{K}^n=n=\dim\Im \phi+\dim\ker\phi \). Siccome \(\displaystyle \Im\phi\subseteq\mathbb{K} \) si ha \(\displaystyle 0\le\dim\Im\phi\le 1 \), cioè necessariamente \(\displaystyle \dim\Im\phi=1 \) poiché \(\displaystyle \phi \) non è il funzionale nullo. Quindi \(\displaystyle \dim\ker\phi=n-1 \).
ii-iii) Siano \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) due vettori l.i. di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) (risp. \(\displaystyle \mathbb{C}^n \)). Qual è la dimensione dello spazio ortogonale ad essi?
Ho condensato in un unico punto due esercizi distinti in cui cambia lo spazio vettoriale assegnato. Tuttavia in entrambi i casi \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) generano un sottospazio $W$ di dimensione due, e vale \(\displaystyle n=\dim W+\dim W^{\bot} \). Sarebbe sbagliato concludere che in entrambi i casi \(\displaystyle \dim W^{\bot}=n-2 \)? Mi sembra strano mettere due esercizi identici di fila
iv) Sia $V$ uno spazio di dimensione $n$ su \(\displaystyle \mathbb{K} \) e \(\displaystyle \phi,\psi\in V^* \) non nulli tali che non esista \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{K} \) diverso da zero per cui si abbia \(\displaystyle \psi=\alpha\phi\) . Mostrare che \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-2 \).
Scelta una base \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\} \) di $V$, esistono unici due vettori \(\displaystyle \Phi, \Psi \in\mathbb{K}^n\) tali che \[\displaystyle \phi(\mathbf{v})=\langle\Phi,\mathbf{v}\rangle, \quad \psi(\mathbf{v})=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle \] La condizione \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})\ne\alpha\phi(\mathbf{v}) \) implica che \(\displaystyle \Phi, \Psi \) sono linearmente indipendenti, ovvero generano un sottospazio \(\displaystyle U \) tale che \(\displaystyle \dim U=2 \). Se \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\cap\ker\psi \), allora \(\displaystyle \langle\Phi,\mathbf{v}\rangle=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle=0 \), cioè \(\displaystyle \mathbf{v} \) è ortogonale ad entrambi tali vettori e quindi \(\displaystyle \mathbf{v}\in U^{\bot} \). La tesi segue dalla formula \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim U^{\bot}=\dim V -\dim U=n-2 \] Questo esercizio mi ha bloccato per diverso tempo perché non avevo letto il non nelle ipotesi! Per divertimento riporto anche questo altro caso
iv bis) Dal punto i) segue \(\displaystyle \dim\ker\phi=\dim\ker\psi=n-1 \). Dalla relazione di Grassmann si ha \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim\ker\phi+\dim\ker\psi-\dim(\ker\phi+\ker\psi)=2n-2-\dim(\ker\phi+\ker\psi) \] Il problema si riduce quindi a trovare la dimensione di \(\displaystyle \dim(\ker\phi+\ker\psi) \). Sia \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\); allora \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})=\alpha\phi(\mathbf{v})=0_K \) ovvero \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\psi \). Di conseguenza scelta una base di \(\displaystyle \ker\phi \) automaticamente viene fissata una base identica di \(\displaystyle \ker\psi \) e lo spazio somma ha dimensione $n-1$, da cui anche \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-1 \).
Funziona? Grazie a tutti in anticipo!
i) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{K}$ e sia $phi$ un funzionale lineare non nullo su $V$. Determinare la dimensione di \(\displaystyle \ker\phi \).
Siccome fissata una base $V$ è isomorfo a $\mathbb{K}^n$ per $n$ opportuno, risulta \(\displaystyle \phi: \mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K} \) e vale la formula \(\displaystyle \dim\mathbb{K}^n=n=\dim\Im \phi+\dim\ker\phi \). Siccome \(\displaystyle \Im\phi\subseteq\mathbb{K} \) si ha \(\displaystyle 0\le\dim\Im\phi\le 1 \), cioè necessariamente \(\displaystyle \dim\Im\phi=1 \) poiché \(\displaystyle \phi \) non è il funzionale nullo. Quindi \(\displaystyle \dim\ker\phi=n-1 \).
ii-iii) Siano \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) due vettori l.i. di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) (risp. \(\displaystyle \mathbb{C}^n \)). Qual è la dimensione dello spazio ortogonale ad essi?
Ho condensato in un unico punto due esercizi distinti in cui cambia lo spazio vettoriale assegnato. Tuttavia in entrambi i casi \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) generano un sottospazio $W$ di dimensione due, e vale \(\displaystyle n=\dim W+\dim W^{\bot} \). Sarebbe sbagliato concludere che in entrambi i casi \(\displaystyle \dim W^{\bot}=n-2 \)? Mi sembra strano mettere due esercizi identici di fila
iv) Sia $V$ uno spazio di dimensione $n$ su \(\displaystyle \mathbb{K} \) e \(\displaystyle \phi,\psi\in V^* \) non nulli tali che non esista \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{K} \) diverso da zero per cui si abbia \(\displaystyle \psi=\alpha\phi\) . Mostrare che \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-2 \).
Scelta una base \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\} \) di $V$, esistono unici due vettori \(\displaystyle \Phi, \Psi \in\mathbb{K}^n\) tali che \[\displaystyle \phi(\mathbf{v})=\langle\Phi,\mathbf{v}\rangle, \quad \psi(\mathbf{v})=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle \] La condizione \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})\ne\alpha\phi(\mathbf{v}) \) implica che \(\displaystyle \Phi, \Psi \) sono linearmente indipendenti, ovvero generano un sottospazio \(\displaystyle U \) tale che \(\displaystyle \dim U=2 \). Se \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\cap\ker\psi \), allora \(\displaystyle \langle\Phi,\mathbf{v}\rangle=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle=0 \), cioè \(\displaystyle \mathbf{v} \) è ortogonale ad entrambi tali vettori e quindi \(\displaystyle \mathbf{v}\in U^{\bot} \). La tesi segue dalla formula \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim U^{\bot}=\dim V -\dim U=n-2 \] Questo esercizio mi ha bloccato per diverso tempo perché non avevo letto il non nelle ipotesi! Per divertimento riporto anche questo altro caso
iv bis) Dal punto i) segue \(\displaystyle \dim\ker\phi=\dim\ker\psi=n-1 \). Dalla relazione di Grassmann si ha \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim\ker\phi+\dim\ker\psi-\dim(\ker\phi+\ker\psi)=2n-2-\dim(\ker\phi+\ker\psi) \] Il problema si riduce quindi a trovare la dimensione di \(\displaystyle \dim(\ker\phi+\ker\psi) \). Sia \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\); allora \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})=\alpha\phi(\mathbf{v})=0_K \) ovvero \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\psi \). Di conseguenza scelta una base di \(\displaystyle \ker\phi \) automaticamente viene fissata una base identica di \(\displaystyle \ker\psi \) e lo spazio somma ha dimensione $n-1$, da cui anche \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-1 \).
Funziona? Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Per quanto riguarda la ii-iii) penso che il discorso sia questo: entrambi dovrebbero essere considerati rispetto $RR$ per cui si ha $dim_(RR)=CC=2$ (essendo una base di $CC$ ${1,i}$) e dunque $dim_(RR)=CC^n=2n$ (mia supposizione: un base dovrebbe essere $(1,0,...,0),(i,0,...,0),(0,1,...,0),(0,i,...,0),...,(0,0,...,1),(0,0,...,i)$)
Aspettiamo la risposta di qualcuno che ne sa di più.
Per le altre due domande non so cosa sia un funzionale o $V*$
Aspettiamo la risposta di qualcuno che ne sa di più.
Per le altre due domande non so cosa sia un funzionale o $V*$
A meno che il terzo quesito non chiedesse qual è la dimensione di \(\langle v_1, v_2\rangle\) come sottospazio reale di \(\mathbb{R}^n\otimes \mathbb{C}\cong \mathbb{C}^n\) (cosa che non sappiamo finché non se ne vede il testo), mi sembra che venga chiesta la stessa cosa in entrambe le domande.
Una delle cose che trovo più educative, comunque, è il rapporto tra ortogonalità e dualità: perciò, fai questi esercizi:
1. Ogni mappa lineare \(\varphi : V\to W\) induce una mappa lineare \(\varphi^* : W^*\to V^*\); \(\varphi^*\) è iniettiva se e solo se \(\varphi\) è suriettiva (chi sono nucleo e immagine delle due rispettivamente?); \(\varphi^*\) è suriettiva se e solo se \(\varphi\) è iniettiva (chi sono nucleo e immagine delle due rispettivamente?);
2. Dato il punto precedente, ogni inclusione \(V\le W\) induce un epimorfismo \(W*\to V^*\); chi ne è il nucleo? Dedurne che \(W^\perp \cong (V/W)^*\);
3. Se \(\varphi = \text{tr} : M_n(K)\to K\) è la traccia, \(\text{tr}^* : K\to M_n(K)^*\) è iniettiva; chi ne è l'immagine?
4. Quali di questi risultati (quelli che hai dimostrato tu, e quelli che ti ho chiesto io) dipendono dalla caratteristica di \(K\)?
5. Ogni applicazione bilineare simmetrica \(g : V\times V\to K\) permette di definire una nozione di ortogonale relativo a \(g\) ponendo \(W^{\perp,g} = \{v\in V\mid g(v,W) = 0\}\). Mostra che lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(V\times V\to K\) è isomorfo a \(\hom(V,V^*)\); in questo isomorfismo, a chi corrisponde \(W^{\perp,g}\)?
6. E quest'ultimo risultato, lui dipende dalla caratteristica di \(K\)?
Buon lavoro.
Una delle cose che trovo più educative, comunque, è il rapporto tra ortogonalità e dualità: perciò, fai questi esercizi:
1. Ogni mappa lineare \(\varphi : V\to W\) induce una mappa lineare \(\varphi^* : W^*\to V^*\); \(\varphi^*\) è iniettiva se e solo se \(\varphi\) è suriettiva (chi sono nucleo e immagine delle due rispettivamente?); \(\varphi^*\) è suriettiva se e solo se \(\varphi\) è iniettiva (chi sono nucleo e immagine delle due rispettivamente?);
2. Dato il punto precedente, ogni inclusione \(V\le W\) induce un epimorfismo \(W*\to V^*\); chi ne è il nucleo? Dedurne che \(W^\perp \cong (V/W)^*\);
3. Se \(\varphi = \text{tr} : M_n(K)\to K\) è la traccia, \(\text{tr}^* : K\to M_n(K)^*\) è iniettiva; chi ne è l'immagine?
4. Quali di questi risultati (quelli che hai dimostrato tu, e quelli che ti ho chiesto io) dipendono dalla caratteristica di \(K\)?
5. Ogni applicazione bilineare simmetrica \(g : V\times V\to K\) permette di definire una nozione di ortogonale relativo a \(g\) ponendo \(W^{\perp,g} = \{v\in V\mid g(v,W) = 0\}\). Mostra che lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(V\times V\to K\) è isomorfo a \(\hom(V,V^*)\); in questo isomorfismo, a chi corrisponde \(W^{\perp,g}\)?
6. E quest'ultimo risultato, lui dipende dalla caratteristica di \(K\)?
Buon lavoro.
Ciao buddha, ciao cantor! Grazie delle risposte. Sto incominciando a vedere gli esercizi che mi mi hai proposto, buddha, ma devo ammettere di essere piuttosto arenato!
Cominciando dal primo, voglio vedere se ho inquadrato bene la questione.
Fisso anzitutto due basi \(\displaystyle \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_i\}_i, \mathcal{B}_W=\{\mathbf{w}_j\}_j \) di $V$ e di $W$ rispettivamente.
Risultano quindi definiti gli isomorfismi \(\displaystyle \phi_w : W\to W^* \) e \(\displaystyle \phi_v:V\to V^* \) che individuano le basi \(\displaystyle \{\mathbf{v}_i^*\}_i,\{\mathbf{w}_j^*\}_j \) degli spazi duali. Preso \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), considero le mappe \(\displaystyle \phi_w\circ \varphi (\mathbf{v})=\mathbf{w}_j^*\in W^* \), \(\displaystyle \phi_v(\mathbf{v})=\mathbf{v}_i^* \).
Quindi definisco \(\displaystyle \varphi^*:W^*\to V^*\),\(\displaystyle \mathbf{w}^*_j\to \mathbf{v}^*_i=\phi_v(\mathbf{v}_i) \). Ha senso tutto ciò? Basta per dire che la mappa \(\displaystyle \varphi \) induce \(\displaystyle \varphi^* \) o è solo una riscrittura inutile?
Cominciando dal primo, voglio vedere se ho inquadrato bene la questione.
Fisso anzitutto due basi \(\displaystyle \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_i\}_i, \mathcal{B}_W=\{\mathbf{w}_j\}_j \) di $V$ e di $W$ rispettivamente.
Risultano quindi definiti gli isomorfismi \(\displaystyle \phi_w : W\to W^* \) e \(\displaystyle \phi_v:V\to V^* \) che individuano le basi \(\displaystyle \{\mathbf{v}_i^*\}_i,\{\mathbf{w}_j^*\}_j \) degli spazi duali. Preso \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), considero le mappe \(\displaystyle \phi_w\circ \varphi (\mathbf{v})=\mathbf{w}_j^*\in W^* \), \(\displaystyle \phi_v(\mathbf{v})=\mathbf{v}_i^* \).
Quindi definisco \(\displaystyle \varphi^*:W^*\to V^*\),\(\displaystyle \mathbf{w}^*_j\to \mathbf{v}^*_i=\phi_v(\mathbf{v}_i) \). Ha senso tutto ciò? Basta per dire che la mappa \(\displaystyle \varphi \) induce \(\displaystyle \varphi^* \) o è solo una riscrittura inutile?
A fare le cose scegliendo una base sono capaci persino gli ingegneri; fallo senza 
Ricordando che \(V^* = \hom(V,K)\), \(\varphi\) induce una funzione \(\hom(\varphi,K) : \hom(W,K)\to \hom(V,K)\) per precomposizione (e proprio in questa direzione, non nell'altra) e ora... basta, ti ho già detto troppo.
Ricordando che \(V^* = \hom(V,K)\), \(\varphi\) induce una funzione \(\hom(\varphi,K) : \hom(W,K)\to \hom(V,K)\) per precomposizione (e proprio in questa direzione, non nell'altra) e ora... basta, ti ho già detto troppo.
Ciao, ho bisogno di un paio di chiarimenti: cosa intendi esattamente con precomposizione, e con \(\displaystyle \hom(\varphi,K)\)? Mi confonde il fatto che ci sia un'applicazione al posto dello spazio... Sarebbero i funzionali lineari definiti sull'immagine di \(\varphi\)?
Ogni funzione tra insiemi $f : X\to Y$ definisce un'altra funzione $\hom(f,Z) : \hom(Y,Z)\to \hom(X,Z)$, che ha per dominio le funzioni $u : Y\to Z$, e per codominio le funzioni $v : X\to Z$, definita mandando $u$ in \(u\circ f\); precomposizione con $f$, appunto.
Il duale essendo definito come lo spazio vettoriale delle funzioni lineari $V\to K$, ogni funzione \(\varphi : V\to W\) induce una funzione lineare...
continua tu. Non è niente di complicato. E' molto più facile degli astrusi esercizi pieni di conti concreti che hai postato finora è una buona idea familiarizzare con questa mentalità.
Il duale essendo definito come lo spazio vettoriale delle funzioni lineari $V\to K$, ogni funzione \(\varphi : V\to W\) induce una funzione lineare...
continua tu. Non è niente di complicato. E' molto più facile degli astrusi esercizi pieni di conti concreti che hai postato finora
è una buona idea familiarizzare con questa mentalità.
Mi permetto di dissentire sarà questione di abitudine ma con i conti concreti per ora mi ci trovo bene!
Quindi effettivamente ogni mappa \( \varphi : V\to W \) induce un'applicazione \(\displaystyle \hom(\varphi,K) : \hom(W,K)\to \hom(V,K) \) che ha per dominio i funzionali \(\displaystyle \phi : W\to K \) e per codominio i funzionali \(\displaystyle \psi : V\to K \) definita per precomposizione, mandando \(\displaystyle \phi \) in \(\displaystyle \phi\circ\varphi\).
Però mi sembra un discorso molto astratto; anzi mi rende abbastanza difficile inquadrare quello che sta succedendo.
Ad esempio ho un dubbio sicuramente idiota che non riesco a risolvere: nel tuo post, \(\displaystyle f^* \) manda \(\displaystyle u(y) \) in \(\displaystyle u(f(x))\in Z\ne \hom(X,Z) \) (!). In altre parole mi sembra che dalla precomposizione salti fuori un elemento di $Z$ anziché del codominio \(\displaystyle \hom(X,Z) \). Certamente sto prendendo qualche granchio, abbi pazienza!
sarà questione di abitudine ma con i conti concreti per ora mi ci trovo bene!Quindi effettivamente ogni mappa \( \varphi : V\to W \) induce un'applicazione \(\displaystyle \hom(\varphi,K) : \hom(W,K)\to \hom(V,K) \) che ha per dominio i funzionali \(\displaystyle \phi : W\to K \) e per codominio i funzionali \(\displaystyle \psi : V\to K \) definita per precomposizione, mandando \(\displaystyle \phi \) in \(\displaystyle \phi\circ\varphi\).
Però mi sembra un discorso molto astratto; anzi mi rende abbastanza difficile inquadrare quello che sta succedendo.
Ad esempio ho un dubbio sicuramente idiota che non riesco a risolvere: nel tuo post, \(\displaystyle f^* \) manda \(\displaystyle u(y) \) in \(\displaystyle u(f(x))\in Z\ne \hom(X,Z) \) (!). In altre parole mi sembra che dalla precomposizione salti fuori un elemento di $Z$ anziché del codominio \(\displaystyle \hom(X,Z) \). Certamente sto prendendo qualche granchio, abbi pazienza!
No, \(f^*\) manda $u$ in $u\circ f$, e tutto torna; tu saturi una funzione in un elemento del suo dominio, è chiaro che ottieni un elemento del codominio.
Astratto significa fondamentale, essenziale.
Queste nozioni sono come quelle della matematica che già conosci, hai solo alzato di un ordine i tipi.
Mi permetto di dissentire etc. etc.
Astratto significa fondamentale, essenziale.
Queste nozioni sono come quelle della matematica che già conosci, hai solo alzato di un ordine i tipi.
Ok, allora credo di aver capito, considero \(\displaystyle u\circ f \) come un punto dello spazio di arrivo \(\displaystyle \hom(X,Z) \), e non la penso come all'immagine in \(\displaystyle Z \) tramite \(\displaystyle u \).
Mi sembra tutto un discorso interessante, poco alla volta ci arrivo! Pensiamo invece alla proposizione \(\displaystyle \varphi^*\) iniettiva \(\displaystyle \Rightarrow \varphi \) suriettiva. Si ha che \(\displaystyle \varphi \) è suriettiva se dati \(\displaystyle \phi,\phi':W\to K \), allora \(\displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \Leftrightarrow \phi=\phi' \). Questo risulta sicuramente verificato, perché se fosse \(\displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \) con \(\displaystyle \phi\ne\phi' \) si avrebbe \(\displaystyle \varphi^* \) non iniettiva, contro l'ipotesi.
Ammetto di avere un po' barato perché ho usato una proprietà delle suriettive che ho trovato e che non sono sicuro di saper dimostrare
(credo si faccia per assurdo)!
Mi sembra tutto un discorso interessante, poco alla volta ci arrivo! Pensiamo invece alla proposizione \(\displaystyle \varphi^*\) iniettiva \(\displaystyle \Rightarrow \varphi \) suriettiva. Si ha che \(\displaystyle \varphi \) è suriettiva se dati \(\displaystyle \phi,\phi':W\to K \), allora \(\displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \Leftrightarrow \phi=\phi' \). Questo risulta sicuramente verificato, perché se fosse \(\displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \) con \(\displaystyle \phi\ne\phi' \) si avrebbe \(\displaystyle \varphi^* \) non iniettiva, contro l'ipotesi.
Ammetto di avere un po' barato perché ho usato una proprietà delle suriettive che ho trovato e che non sono sicuro di saper dimostrare
(credo si faccia per assurdo)!
Ma no, hai solo usato la definizione di epimorfismo
Ok! Allora l'altra implicazione è facile, perché se \(\displaystyle \varphi \) è suriettiva allora \( \displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \Leftrightarrow \phi=\phi' \), cioè \(\displaystyle \varphi^* \) è iniettiva. Vorrei usare un ragionamento simile per dimostrare l'altra proposizione ma non capisco quale dovrebbe essere la mappa \(\displaystyle f \) definita su \(\displaystyle \hom(V, K) \) nella definizione di epimorfismo per \(\displaystyle \varphi^* \). Inoltre so anche che \(\displaystyle \varphi \) è iniettiva se e solo se date due mappe \(\displaystyle g, h: Z\to V \) si ha \(\displaystyle \varphi\circ g=\varphi\circ h \Leftrightarrow g=h \) (monomorfismo?). Sono convinto che mettendo le cose insieme scegliendo bene \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle Z \) si arrivi alla soluzione ma sono un po' incastrato! E' la strada giusta? 
Per quanto riguarda il secondo: l'inclusione \(\displaystyle i \) è definita come l'applicazione (identità) che ad ogni elemento \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) associa \(\displaystyle \mathbf{v}\in W \), quindi è banalmente una mappa iniettiva e induce quindi un epimorfismo \(\displaystyle i^*:\hom(W,K)\to \hom(V,K) \). Dato che \(\displaystyle i^* \) manda \(\displaystyle \phi\in\hom(W,K) \) in \(\displaystyle \phi\circ i \), il suo nucleo è costituito innanzitutto dal funzionale nullo \(\displaystyle \phi\equiv 0 \); inoltre \(\displaystyle \phi\circ i=0 \) anche se \(\displaystyle i \) agisce su \(\displaystyle \mathbf{0}_V \), quindi ha senso dire che al nucleo appartengono anche i funzionali precomposti con l'inclusione dello zero? Sarebbe coerente con il fatto che \(\displaystyle \hom(W,K)\ge\hom(V,K)\), almeno. La scrittura \(\displaystyle W^\perp \cong (V/W)^* \) non l'ho mai vista prima: cosa si intende con \(\displaystyle V/K \)?
Per il terzo, l'iniettività di \( \text{tr}^* : K\to M_n(K)^* \) segue dal fatto che \(\displaystyle \dim K=1=\dim\ker\text{tr}^*+\dim\Im\text{tr}^* \) e siccome deve essere \(\displaystyle \dim\Im\text{tr}^*=1 \), il nucleo è banale. A questo punto mi sorge una domanda. E' possibile parlare di \(\displaystyle \hom(K, K) \cong K\), cioè di funzionali definiti sul campo stesso? Sto cercando un modo di ricondurmi alla situazione del primo punto, ma mi scoccia il fatto che \(\displaystyle \text{tr}^* \) sia definita su \(\displaystyle K \) anziché su uno spazio duale.
Per quanto riguarda infine la caratteristica di \(\displaystyle K \): qui ci addentriamo ancora di più in un territorio inesplorato da quello che leggo su Wikipedia mi verrebbe da dire che in queste situazioni la caratteristica del campo è sempre uguale a zero, ma non saprei farci su chissà quali discorsi! Agli altri esercizi penso quando mi sono chiarito per bene questi, nel frattempo spero di non star dicendo un mucchio di stupidate (nel caso è colpa tua che mi proponi questi esercizi strambi)!
Per il terzo, l'iniettività di \( \text{tr}^* : K\to M_n(K)^* \) segue dal fatto che \(\displaystyle \dim K=1=\dim\ker\text{tr}^*+\dim\Im\text{tr}^* \) e siccome deve essere \(\displaystyle \dim\Im\text{tr}^*=1 \), il nucleo è banale. A questo punto mi sorge una domanda. E' possibile parlare di \(\displaystyle \hom(K, K) \cong K\), cioè di funzionali definiti sul campo stesso? Sto cercando un modo di ricondurmi alla situazione del primo punto, ma mi scoccia il fatto che \(\displaystyle \text{tr}^* \) sia definita su \(\displaystyle K \) anziché su uno spazio duale.
Per quanto riguarda infine la caratteristica di \(\displaystyle K \): qui ci addentriamo ancora di più in un territorio inesplorato
da quello che leggo su Wikipedia mi verrebbe da dire che in queste situazioni la caratteristica del campo è sempre uguale a zero, ma non saprei farci su chissà quali discorsi! Agli altri esercizi penso quando mi sono chiarito per bene questi, nel frattempo spero di non star dicendo un mucchio di stupidate (nel caso è colpa tua che mi proponi questi esercizi strambi)!
"Uomo Grasso":
Mi permetto di dissentire
Qualche anno fa ho seguito un corso di Juan Luis Vázquez, un grosso nome delle equazioni differenziali paraboliche. Lui sarebbe stato d'accordo con te. Parlava di "braccio di ferro" (in italiano) riferendosi all'abilità di portare a termine con successo lunghi calcoli concreti, esattamente quelli che KB disprezza. Ho imparato molto da quel corso.
Hai notato però come queste differenze sono sempre differenze ideologiche tra cosa si pensa sia importante in Matematica, e la polarizzazione avviene proprio tra geometri/analisti/applicati e algebristi/logici? Non penso sia un caso. E comunque non disprezzo i calcoli, ne faccio molti per desiderio o per necessità; ma ci sono conti e conti, e soprattutto ci sono buone ragioni per farli, così come pessime ragioni per farne.
@killing
[ot]per esempio fissare una base ortonormale è una ottima idea per ridurli!
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[ot]per esempio fissare una base ortonormale è una ottima idea per ridurli!
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