Esercizi su sottospazi vettoriali

[rickp1]

-ES 1-

Siano U e V i seguenti sottospazi di R3:
U = {(x, y, z) 2 R3 : x + y − z = 0} ,
W = {x, y, z) 2 R3 : x − z = 0 = x + y} .

determinare un’applicazione lineare f : R3 -> R3 tale che il nucleo
di f sia ker(f) = U, l’immagine di f sia Im(f) = W e 3 sia un
autovalore per f.

??


-ES 2-

Sia V = R4.
(a) Determinare la dimensione del sottospazio W di V generato dai vettori
ei−ei+1, i = 1, 2, 3, dove ei indica il vettore della base standard.

W=((1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,1,3)) da cui dim=3...

(b) Trovare una base di W e completarla ad una base di V .

W=((1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,1,3),(0,0,0,1))

(c) Trovare un sottospazio U di V tale che U +W = V e U $nn$ W = 0.

??

Sono corrette le mie soluzione, le parti mancanti come posso svolgerle??

[alberto.cena]

Es. 1
$U$ è generato dai vettori linearmente indipendenti $v_1=(-1,1,0)$ e $v_2=(1,0,1)$.
$W$ è generato da $v_3=(1,-1,1)$
$v_1$, $v_2$ e $v_3$ sono lineramente indipendenti quindi costituiscono una base di $\mathbb R^3$ e puoi definire $f$ come:
$f(v_1)=(0,0,0)$
$f(v_2) = (0,0,0)$
$f(v_3) = 3 v_3 $

Es. 2
$W$ è generato da $(1,-1,0,0)$, $(0,1,-1,0)$ e $(0,0,1,-1)$ da cui dim 3 e va bene completarla con $(0,0,0,1)$

[rickp1]

Es.1
Partendo dalle condizioni che mi hai espresso ho fatto cosi:

f(-1,1,0)=(0,0,0)
f(1,0,1)=(0,0,0)
f(1,-1,1)=(3,-3,3)

da cui il sistema

$\{(-x+y=0),(x+z=0),(x-y+z=3x-3y+3z):}$

ottenendo f(x,y,z)=(0,0,0) .. ma mi sembra molto "strana" come applicazione!! ma non so come altro fare

Es.2
Come sottospazio posso usare il seguente?

U={(0,0,0,z)| z E R}??

[alberto.cena]

La matrice, rispetto alla base canonica, dell'applicazione lineare $f$ è
$A=((-3,-3,3),(3,3,-3),(-3,-3,3))$.

Non capisco il tuo sistema.
Io farei così. Devi determinare la matrice $A=(a_{i,j})$ dell'applicazione rispetto alla base canonica.
La condizione $f(-1,1,0)=(0,0,0)$ diventa
$-a_{1,1}+a_{1,2}=0$
$-a_{2,1}+a_{2,2}=0$
$-a_{3,1}+a_{3,2}=0$
Con le altre condizioni ottieni altre sei equazioni e, risolto il sistema, ottieni la matrice di $A$.

Oppure. $f$ ha matrice rispetto alla base $v_1,v_2,v_3$
$A'=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,3))$. Cambiando base ottieni la matrice $A$.

Es -2 sì