Esercizi su sottospazi generati

[monetaria]

Un esercizio mi chiede di dimostrare che il sottospazio generato dal vettore (1,-1) e (1,0) è proprio $RR^2$.. come posso procedere? dimostro prima che il sottospazio generato da quei vettori appartinene ad $RR^2$ e poi il viceversa?

[blackdie]

Se verifichi che sono linearmente indipendenti(evidente) puoi dire che hanno dimensione due.Poi del resto quel sottospazio è incluso in $R^2$, ma per il teorema dello scambio coincidono,perche R^2 ha basi di dimensione due e quindi ogni altra base ha dimesnione due.

[monetaria]

si però considera che ancora non abbiamo parlato di basi e di indipendenza ma solo di sottospazi e quelli generati..

[franced]

"monetaria":
dimostrare che il sottospazio generato dal vettore (1,-1) e (1,0) è proprio $RR^2

Prendi un generico vettore $((a),(b))$ di $RR^2$ e cerca di scriverlo come combinazione lineare dei due vettori assegnati:

$((a),(b)) = lambda_1 ((1),(-1)) + lambda_2 ((1),(0))$

[monetaria]

ah quindi in pratica un sistema.. e in questo modo dimostro non dimostro solo che $RR^2$ è contenuto nel sottospazio ? ( scusa la domanda )

[Steven11]

"monetaria":ah quindi in pratica un sistema.. e in questo modo dimostro non dimostro solo che $RR^2$ è contenuto nel sottospazio ? ( scusa la domanda )

Mostri che ogni coppia può essere espressa mediante $(1,-1)$ e $(1,0)$.
Cioè
$(x,y)=a(1,-1)+b(1,0)=(a,-a)+(b,0)=(a+b,-a)$
da cui
$y=-a$
$x=a+b$

Facendo variare $-a$ tra i reali (quindi positivi e negativi) ottieni tutti i valori di $y$ che vuoi reali, e se successivamente fai variare $b$ ottieni anche tutti i valori di $x$ che vuoi.

Ti è chiaro?

[monetaria]

si si grazie !