Esercizi su rivestimenti e gruppo fondamentale

[Paolo902]

Sulla scia del recente thread di perplesso (che ha riscosso un certo successo ), ho pensato di aprirne uno simile, riguardo la Topologia Algebrica.
Siccome a lezione non vediamo nessun esercizio, ho pensato di svolgerne qualcuno e di proporlo qui per confrontare la mia soluzione. La fonte è sempre lui, il caro vecchio Munkres, Topology.

Cominciamo con uno semplice.

Esercizio 1. Siano $X,Y$ spazi topologici e supponiamo che su $Y$ ci sia la topologia discreta. Sia $p: X \times Y \to X$ la proiezione sul primo fattore. Mostrare che $p$ è un rivestimento.

Soluzione. Nella mia mente ho l'immagine di $n$ rette orizzontali che si proiettano sopra una retta posta al di sotto di tutte: sto quindi pensando a $RR \times {1,2, \ldots , n}$.

In generale, sia $x_0 \in X$ e sia $U_0$ un intorno aperto di $x_0$. Mostro che $U_0$ è ben ricoperto. Allora $p^{-1}(U_0)=U_0 \times Y$. Ora poichè $Y$ è discreto posso scrivere $Y=\bigcup_{i \in I} \{y_i \}$. Perciò $p^{-1}(U_0)=U_0 \times \bigcup_{i \in I} \{y_i \} = \bigcup_{i \in I} U_0 \times \{y_i \}$. Per brevità, $V_i:=U_0 \times \{y_i \}$.

Ora è chiaro che

[*:34u20rvn] i $V_i$ sono disgiunti; [/*:m:34u20rvn]
[*:34u20rvn] i $V_i$ sono aperti perchè prodotto di aperti ($U_0$ l'ho scelto aperto e gli $\{y_i\}$ sono aperti per definizione di topologia discreta); [/*:m:34u20rvn]
[*:34u20rvn] la $p$, ristretta a ognuno dei $V_i$, è un omeomorfismo. E' chiaramente biiettiva, la continuità ce l'ho per definizione di topologia prodotto e in più la $p$ è aperta (perchè la proiezione è aperta).[/*:m:34u20rvn][/list:u:34u20rvn]

Per definizione, quindi, $U_0$ è ben ricoperto e pertanto, per l'arbitrarietà di $x_0$, la $p$ è un rivestimento.

Che ve ne pare? Grazie.

[Paolo902]

Oh, sì, molto semplice: grazie.

Esercizio 8. Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio $X$ costituito dalle matrici reali $3 times 3$ di rango $1$.

Mi è stato "suggerito" di pensare intensamente a $\mathbb{S}^2 \times RR^3 \setminus \{0\}$... avete qualche idea? Io pensavo di trovare un rivestimento connesso di $X$ con spazio base proprio $\mathbb{S}^2 \times RR^3 \setminus \{0\}$ e poi di contare i fogli (insomma, studiare il grado del rivestimento). Se sono particolarmente fortunato e trovo che il grado è un numero primo, dovrei aver finito,perchè dovrebbe seguire subito che $pi_1(X)=ZZ/(pZZ)$: giusto?
(Voglio imitare la dimostrazione di $pi_1(mathbb P^n(RR))=ZZ/(2ZZ)$).

Qualche idea? Qualcuno vede qualche rivestimento "furbo"?
Grazie

[apatriarca]

Sono sempre stato contrario a questo genere di suggerimenti. Non è infatti del tutto chiaro, almeno ad una prima rapida occhiata, quale sia la relazione tra le matrici \( 3 \times 3 \) di rango \(1\) e quello spazio. In effetti, non sono omeomorfi come avevo inizialmente pensato*. Ma se stai cercando un rivestimento, quella potrebbe essere una buona scelta.. Altrimenti, una volta che hai compreso a cosa è omeomorfo lo spazio che stai considerando, si fa prima ad usare il teorema sul gruppo fondamentale del prodotto di spazi. Secondo me, un migliore suggerimento sarebbe stato di far notare come in una matrice di rango \(1\) tutte le righe siano tra di loro proporzionali.

* Stupidamente perché questo genere di spazi li ho in effetti incontrati più volte nei corsi di geometria algebrica.

EDIT: Rileggendo il tuo post mi è venuto il seguente dubbio.. Sai qual'è il gruppo fondamentale del prodotto \( X \times Y \) di due spazi \(X\) e \(Y\) connessi per archi? Non c'è infatti alcuna ragione di scomodare un rivestimento per calcolare il gruppo fondamentale di \(\mathbb S^2 \times ( \mathbb R^3 - \{ 0 \} ) \): essendo il prodotto di due spazi semplicemente connessi è anch'esso semplicemente connesso..

[killing_buddha]

non ho mai capito a cosa corrisponde da un punto di vista geometrico l'abelianità del primo gruppo fondamentale.

Il fatto che i cammini commutino mi sembra abbastanza "geometrico" ma spiegati meglio.

Piuttosto ho un problema anche io, seguendo quel che ha scritto apatriarca mi sembra che lo spazio delle matrici di rango 1 sia semplicemente connesso. Dove sbaglio, se sbaglio?

[killing_buddha]

ci metto del mio, se ineff sta leggendo sa da dove viene il problema.

Se $X$ e' uno spazio che ha gruppo fondamentale finito, allora ogni mappa $X\to \mathbb{S}^1$ e' nullomotopa.

[apatriarca]

Quanti sottogruppi finiti ha \((\mathbb Z, +)\)? Come deve essere la cardinalità dell'immagine attraverso un omomorfismo di un gruppo finito?

Per quanto riguarda la domanda precedente, mai sentito parlare di Segre embedding? Questa è più o meno la mappa che ti serve per risolvere l'esercizio precedente (queste coordinate sono infatti nel proiettivo mentre tu devi considerarle nello spazio affine e con una topologia diversa)..

A meno di non aver preso un abbaglio, le matrici \(n \times n\) di rango \(1\) dovrebbero essere omeomorfe a \(\mathbb R P^n \times \bigr(\mathbb R^n - \{0\} \bigr) \)

@killing_buddha: mi ero convinto fosse un tuo dubbio e mi sembrava troppo strano avessi problemi su un problema del genere.. messo suggerimento in spoiler..