Esercizi su rette e piani

[Atem1]

Salve ragazzi, avrei bisogno di sapere se ho fatto correttamente questi 2 esercizi:

1) Scrivere l'equazione del piano passante per $P=(0,2,0)$ e contenente la retta $r$ di equazioni cartesiane:

$\{(x -z= 0),(y + 2z = 1):}$





2)Si determini la retta r parallela al piano di equazione $x+2y+z+1=0$ , ortogonale al vettore di coordinate $(2,1, -1)$ e passante per il punto di coordinate $P=(-1 , 2, 1)$.
Si calcoli la distanza della retta $r$ dal punto di coordinate $Q=(2,1,3)$






[size=150]Il primo l'ho risolto così:[/size]
a)Trovando un vettore di direzione per $r$ che mi risulta $A=(1,-2,1)$
b)Scelgo un punto appartenente ad $r$, ad esempio $B=(0,1,0)$ e trovo l'equazione della retta $s$ passante per $B$ e $P$
cioè $s= (0,1,0)+t(0,1,0)$
c)Ora ho che il piano su cui giace $r$, è parallelo sia alla direzione della retta $r$ che della retta $s$.
Infatti una retta $r$ giace su un piano se è parallela ad esso e se il piano contiene almeno un punto di $r$.
Dunque il vettore normale del piano, che contiene $r$, è ortogonale sia alla direzione di $r$ che a quella di $s$ e trovo
che è (a,0,-a) dunque prendo ad esempio $n=(1,0,-1)$ come vettore normale del piano e trovo che il mio piano è:
$x-z+d=0$
d)Uso il fatto che il piano deve passare per $P$ e dunque la soluzione mi risulta essere:
$x-z=0$




Ho fatto giusto? Purtroppo non abbiamo fatto quasi nessun esercizio in classe e dunque anche se sembran semplici non son sicuro di saperli fare e fra qualche giorno c'è una prova intermedia...







[size=150]Il secondo esercizio:[/size]
a)Dato che $r$ è parallela al piano, allora giace in un piano parallelo a quello dunque giace su:
$x+2y+z+d=0$
b)Ma dato che so che il punto $P=(-1,2,1)$ appartiene al piano allora trovo che il mio piano è:
$x+2y+z-4=0$
c)Siccome la retta $r$ è perpendcolare a $(2,1,-1)$ ed anche al piano trovo che il suo vettore di direzione è della forma $(-y,y,-y)$ quindi prendo ad esempio $A=(1,-1,1)$
d)Dunque $r=(-1,2,1) + t(1,-1,1)$

Poi per trovare la distanza di Q da r trovo un piano ortogonale ad r cioè
$x+y+3z+d=0$ che passi per il punto Q dunque è $x+y+3z-12=0$
Metto a sistema il piano con la retta r e trovo un punto $U=(3,0,3)$.
Infine calcolo la distanza fra U e Q, che risulta essere $sqrt(2)$

[Sk_Anonymous]

I due metodi sono equivalenti. In definitiva congiungere il punto $Q(0,1,2)$ col punto generico di $s_1 $ è come trovare una retta la cui direzione passa per Q e giace nel piano $\pi_1$. Ed analogamente congiungere Q con il punto generico di $s_2$ è come trovare una retta la cui direzione passa per Q e giace in $pi_2$. Imporre poi che queste direzioni coincidano è come cercare l'intersezione tra $pi_1\text[ e ]pi_2$ e questa intersezione è unica , indipendentemente dai punti che si scelgono su $s_1$ e su $ s_2$.

[Atem1]

"ciromario":I due metodi sono equivalenti. In definitiva congiungere il punto $Q(0,1,2)$ col punto generico di $s_1 $ è come trovare una retta la cui direzione passa per Q e giace nel piano $\pi_1$. Ed analogamente congiungere Q con il punto generico di $s_2$ è come trovare una retta la cui direzione passa per Q e giace in $pi_2$. Imporre poi che queste direzioni coincidano è come cercare l'intersezione tra $pi_1\text[ e ]pi_2$ e questa intersezione è unica , indipendentemente dai punti che si scelgono su $s_1$ e su $ s_2$.

Ok capito, grazie mille