Esercizi su rette e piani
Salve ragazzi, avrei bisogno di sapere se ho fatto correttamente questi 2 esercizi:
1) Scrivere l'equazione del piano passante per $P=(0,2,0)$ e contenente la retta $r$ di equazioni cartesiane:
$\{(x -z= 0),(y + 2z = 1):}$
2)Si determini la retta r parallela al piano di equazione $x+2y+z+1=0$ , ortogonale al vettore di coordinate $(2,1, -1)$ e passante per il punto di coordinate $P=(-1 , 2, 1)$.
Si calcoli la distanza della retta $r$ dal punto di coordinate $Q=(2,1,3)$
[size=150]Il primo l'ho risolto così:[/size]
a)Trovando un vettore di direzione per $r$ che mi risulta $A=(1,-2,1)$
b)Scelgo un punto appartenente ad $r$, ad esempio $B=(0,1,0)$ e trovo l'equazione della retta $s$ passante per $B$ e $P$
cioè $s= (0,1,0)+t(0,1,0)$
c)Ora ho che il piano su cui giace $r$, è parallelo sia alla direzione della retta $r$ che della retta $s$.
Infatti una retta $r$ giace su un piano se è parallela ad esso e se il piano contiene almeno un punto di $r$.
Dunque il vettore normale del piano, che contiene $r$, è ortogonale sia alla direzione di $r$ che a quella di $s$ e trovo
che è (a,0,-a) dunque prendo ad esempio $n=(1,0,-1)$ come vettore normale del piano e trovo che il mio piano è:
$x-z+d=0$
d)Uso il fatto che il piano deve passare per $P$ e dunque la soluzione mi risulta essere:
$x-z=0$
Ho fatto giusto? Purtroppo non abbiamo fatto quasi nessun esercizio in classe e dunque anche se sembran semplici non son sicuro di saperli fare e fra qualche giorno c'è una prova intermedia...
[size=150]Il secondo esercizio:[/size]
a)Dato che $r$ è parallela al piano, allora giace in un piano parallelo a quello dunque giace su:
$x+2y+z+d=0$
b)Ma dato che so che il punto $P=(-1,2,1)$ appartiene al piano allora trovo che il mio piano è:
$x+2y+z-4=0$
c)Siccome la retta $r$ è perpendcolare a $(2,1,-1)$ ed anche al piano trovo che il suo vettore di direzione è della forma $(-y,y,-y)$ quindi prendo ad esempio $A=(1,-1,1)$
d)Dunque $r=(-1,2,1) + t(1,-1,1)$
Poi per trovare la distanza di Q da r trovo un piano ortogonale ad r cioè
$x+y+3z+d=0$ che passi per il punto Q dunque è $x+y+3z-12=0$
Metto a sistema il piano con la retta r e trovo un punto $U=(3,0,3)$.
Infine calcolo la distanza fra U e Q, che risulta essere $sqrt(2)$
1) Scrivere l'equazione del piano passante per $P=(0,2,0)$ e contenente la retta $r$ di equazioni cartesiane:
$\{(x -z= 0),(y + 2z = 1):}$
2)Si determini la retta r parallela al piano di equazione $x+2y+z+1=0$ , ortogonale al vettore di coordinate $(2,1, -1)$ e passante per il punto di coordinate $P=(-1 , 2, 1)$.
Si calcoli la distanza della retta $r$ dal punto di coordinate $Q=(2,1,3)$
[size=150]Il primo l'ho risolto così:[/size]
a)Trovando un vettore di direzione per $r$ che mi risulta $A=(1,-2,1)$
b)Scelgo un punto appartenente ad $r$, ad esempio $B=(0,1,0)$ e trovo l'equazione della retta $s$ passante per $B$ e $P$
cioè $s= (0,1,0)+t(0,1,0)$
c)Ora ho che il piano su cui giace $r$, è parallelo sia alla direzione della retta $r$ che della retta $s$.
Infatti una retta $r$ giace su un piano se è parallela ad esso e se il piano contiene almeno un punto di $r$.
Dunque il vettore normale del piano, che contiene $r$, è ortogonale sia alla direzione di $r$ che a quella di $s$ e trovo
che è (a,0,-a) dunque prendo ad esempio $n=(1,0,-1)$ come vettore normale del piano e trovo che il mio piano è:
$x-z+d=0$
d)Uso il fatto che il piano deve passare per $P$ e dunque la soluzione mi risulta essere:
$x-z=0$
Ho fatto giusto? Purtroppo non abbiamo fatto quasi nessun esercizio in classe e dunque anche se sembran semplici non son sicuro di saperli fare e fra qualche giorno c'è una prova intermedia...
[size=150]Il secondo esercizio:[/size]
a)Dato che $r$ è parallela al piano, allora giace in un piano parallelo a quello dunque giace su:
$x+2y+z+d=0$
b)Ma dato che so che il punto $P=(-1,2,1)$ appartiene al piano allora trovo che il mio piano è:
$x+2y+z-4=0$
c)Siccome la retta $r$ è perpendcolare a $(2,1,-1)$ ed anche al piano trovo che il suo vettore di direzione è della forma $(-y,y,-y)$ quindi prendo ad esempio $A=(1,-1,1)$
d)Dunque $r=(-1,2,1) + t(1,-1,1)$
Poi per trovare la distanza di Q da r trovo un piano ortogonale ad r cioè
$x+y+3z+d=0$ che passi per il punto Q dunque è $x+y+3z-12=0$
Metto a sistema il piano con la retta r e trovo un punto $U=(3,0,3)$.
Infine calcolo la distanza fra U e Q, che risulta essere $sqrt(2)$
Risposte
"Atem":
Dunque il vettore normale del piano, che contiene $r$, è ortogonale sia alla direzione di $r$ che a quella di $s$ e trovo
che è (a,1,2-a) dunque prendo ad esempio $n=(1,1,1)$ come vettore normale del piano e trovo che il mio piano è:
$x+y+z+d=0$
Questo non capisco...
Come può un vettore normale essere della forma (a,1,2-a) ???
Dove ho sbagliato?
Il procedimento, sebbene concettualmente esatto, mi sembra un tantino macchinoso. Per trovare il piano richiesto puoi fare più semplicemente come segue.
Scrivi dapprima l'equazione del fascio di piani di asse la retta r. Risulta :
(1) $lambda(x-z)+mu(y+2z-1)=0$
Imponi il passaggio per $P(0,2,0)$ ed hai :
$lambda(0-0)+mu(2+0-1)=0$ da cui $lambda ne 0, mu=0$
Sostituendo tale valore di $mu$ nella (1) hai appunto $ x-z=0$ che è l'equazione del piano richiesto.
Scrivi dapprima l'equazione del fascio di piani di asse la retta r. Risulta :
(1) $lambda(x-z)+mu(y+2z-1)=0$
Imponi il passaggio per $P(0,2,0)$ ed hai :
$lambda(0-0)+mu(2+0-1)=0$ da cui $lambda ne 0, mu=0$
Sostituendo tale valore di $mu$ nella (1) hai appunto $ x-z=0$ che è l'equazione del piano richiesto.
"ciromario":
Il procedimento, sebbene concettualmente esatto, mi sembra un tantino macchinoso. Per trovare il piano richiesto puoi fare più semplicemente come segue.
Scrivi dapprima l'equazione del fascio di piani di asse la retta r. Risulta :
(1) $lambda(x-z)+mu(y+2z-1)=0$
Imponi il passaggio per $P(0,2,0)$ ed hai :
$lambda(0-0)+mu(2+0-1)=0$ da cui $lambda ne 0, mu=0$
Sostituendo tale valore di $mu$ nella (1) hai appunto $ x-z=0$ che è l'equazione del piano richiesto.
Wow grazie mille, non sapevo che esistesse l'equazione del fascio di piani anche perchè non l'abbiamo fatto.
Ma se ad esempio il punto fosse P=(1,2,0) cosa succederebbe?
$lambda(1-0)+mu(2+0-1)=0$
In questo caso come si andrebbe avanti?
Cambiano solo i risultati ma non il procedimento . Nel caso che hai proposto viene l'equazione :
$lambda+mu=0$
da cui $mu=-lambda$
Sostituendo nella (1) ottieni :
$lambda(x-z)-lambda(y+2z-1)=0$
Dividendo per $lambda$ ( che non può essere nullo) si ha l'equazione del piano :
$x-y-3z+1=0$
$lambda+mu=0$
da cui $mu=-lambda$
Sostituendo nella (1) ottieni :
$lambda(x-z)-lambda(y+2z-1)=0$
Dividendo per $lambda$ ( che non può essere nullo) si ha l'equazione del piano :
$x-y-3z+1=0$
"ciromario":
Cambiano solo i risultati ma non il procedimento . Nel caso che hai proposto viene l'equazione :
$lambda+mu=0$
da cui $mu=-lambda$
Sostituendo nella (1) ottieni :
$lambda(x-z)-lambda(y+2z-1)=0$
Dividendo per $lambda$ ( che non può essere nullo) si ha l'equazione del piano :
$x-y-3z+1=0$
Ah ho capito, quindi troviamo semplicemente uno in funzione dell'altro e poi possiamo dividere. Grazie mille
"Atem":
[quote="Atem"]
Dunque il vettore normale del piano, che contiene $r$, è ortogonale sia alla direzione di $r$ che a quella di $s$ e trovo
che è (a,1,2-a) dunque prendo ad esempio $n=(1,1,1)$ come vettore normale del piano e trovo che il mio piano è:
$x+y+z+d=0$
Questo non capisco...
Come può un vettore normale essere della forma (a,1,2-a) ???
Dove ho sbagliato?[/quote]
Ok ho risolto, avevo fatto uno stupidissimo errore di calcolo.
Avevo messo b=1 quando invece b=0, dunque è n=(a,0,-a) cioè (1,0,-1) ...
Ho un problema con l'esercizio 6 di questa scheda:
Io ho trovato che sono 2 rette sghembe.
Poi le ho messe in forma parametrica e ottengo che
$r: O+t(1,1,1)$
e
$s: (0,0,1)+t (-1,1,0)$
Siccome devo trovare una retta che sia perpendicolare ed incidente ad entrambe faccio il sistema
$\{(x+y+z=0),(-x+y=0):}$
cioè ho fatto prima il prodotto scalare di (x,y,z) con il primo vettore di direzione e l'ho posto uguale a 0 e stessa cosa con il secondo per la seconda equazione del sistema.
E risulta che il vettore di direzione della nuova retta è $(1,1,-2)$
Quindi ho trovato il vettore di direzione di una retta che sia perpendicolare ad entrambe ma ora come faccio a risolvere la condizione d'incidenza? Io non ne ho la più pallida idea...
Avevo provato a farla passare per il punto (a,b,c) e metterla a sistema con le altre due ma naturalmente risulta sistema impossibile visto che non esiste nessun punto in comune fra le 3 rette. E invece come si fa per averne una che le incide entrambe? Grazie mille per la risposta...
PS: Mi è venuta come idea quella di mettere a sistema questa nuova retta con la prima e trovare il punto d'intersezione, poi trovo il punto d'intersezione con la seconda e infine trovo la retta passante per questi 2 punti...
Dite che può andar bene o si perde la condizione di perpendicolarità?
Io ho trovato che sono 2 rette sghembe.
Poi le ho messe in forma parametrica e ottengo che
$r: O+t(1,1,1)$
e
$s: (0,0,1)+t (-1,1,0)$
Siccome devo trovare una retta che sia perpendicolare ed incidente ad entrambe faccio il sistema
$\{(x+y+z=0),(-x+y=0):}$
cioè ho fatto prima il prodotto scalare di (x,y,z) con il primo vettore di direzione e l'ho posto uguale a 0 e stessa cosa con il secondo per la seconda equazione del sistema.
E risulta che il vettore di direzione della nuova retta è $(1,1,-2)$
Quindi ho trovato il vettore di direzione di una retta che sia perpendicolare ad entrambe ma ora come faccio a risolvere la condizione d'incidenza? Io non ne ho la più pallida idea...
Avevo provato a farla passare per il punto (a,b,c) e metterla a sistema con le altre due ma naturalmente risulta sistema impossibile visto che non esiste nessun punto in comune fra le 3 rette. E invece come si fa per averne una che le incide entrambe? Grazie mille per la risposta...
PS: Mi è venuta come idea quella di mettere a sistema questa nuova retta con la prima e trovare il punto d'intersezione, poi trovo il punto d'intersezione con la seconda e infine trovo la retta passante per questi 2 punti...
Dite che può andar bene o si perde la condizione di perpendicolarità?
Determinare equazioni cartesiane per la retta r parallela all'asse Y e incidente le due rette:
s1: $\{(y+z=0),(y-z=0):}$ ed s2: $\{(x-y=0),(x+y+1=0):}$
Per favore qualcuno potrebbe aiutarmi con quest'esercizio che sarebbe il numero 5 della scheda che ho postato ieri? Non capisco come imporre la condizione di retta r parallella all'asse Y...
Qual'è il vettore di direzione di una retta parallela all'asse delle Y? Come si trova?
s1: $\{(y+z=0),(y-z=0):}$ ed s2: $\{(x-y=0),(x+y+1=0):}$
Per favore qualcuno potrebbe aiutarmi con quest'esercizio che sarebbe il numero 5 della scheda che ho postato ieri? Non capisco come imporre la condizione di retta r parallella all'asse Y...
Qual'è il vettore di direzione di una retta parallela all'asse delle Y? Come si trova?
Eser. 5
Le equazioni dell'asse Y sono $x=0,z=0$ e pertanto il suo vettore di direzione è $(0,1,0)$
La retta r è l'intersezione tra il piano p1 passante per s1 e parallelo all'asse Y col piano p2 passante per s2 e anch'esso parallelo ad Y.
Per avere p1 scriviamo dapprima l'equazione del fascio di piani aventi la retta s1 come asse :
$a(y+z)+b(y-z)=0$, ovvero :
(1) $(a+b)y+(a-b)z=0$
Imponendo che l'asse Y sia parallelo al piano generico del fascio si ha l'equazione :
$0 cdot 0+1 cdot (a+b)+ 0 cdot (a-b) =0$ da cui :
(1') $a=-b$
Analogamente l'equazione del fascio di piani aventi la retta s2 come asse è:
$c(x-y)+d(x+y+1)=0$ ovvero :
(2) $ (c+d)x+(-c+d)y+d=0 $
Imponendo che l'asse Y sia parallelo al piano generico del fascio si ha l'equazione :
$ 0 cdot (c+d)+1 cdot (-c+d)+ 0 cdot 0 =0 $ da cui :
(2') $c=d$
Sostituendo (1') in (1) e (2') in (2) si hanno le equazioni di r :
\(\begin{cases}z=0\\2x+1=0\end{cases}\)
N.B. Questa soluzione può in parte esserti utile per risolvere l'eserc. 6
Le equazioni dell'asse Y sono $x=0,z=0$ e pertanto il suo vettore di direzione è $(0,1,0)$
La retta r è l'intersezione tra il piano p1 passante per s1 e parallelo all'asse Y col piano p2 passante per s2 e anch'esso parallelo ad Y.
Per avere p1 scriviamo dapprima l'equazione del fascio di piani aventi la retta s1 come asse :
$a(y+z)+b(y-z)=0$, ovvero :
(1) $(a+b)y+(a-b)z=0$
Imponendo che l'asse Y sia parallelo al piano generico del fascio si ha l'equazione :
$0 cdot 0+1 cdot (a+b)+ 0 cdot (a-b) =0$ da cui :
(1') $a=-b$
Analogamente l'equazione del fascio di piani aventi la retta s2 come asse è:
$c(x-y)+d(x+y+1)=0$ ovvero :
(2) $ (c+d)x+(-c+d)y+d=0 $
Imponendo che l'asse Y sia parallelo al piano generico del fascio si ha l'equazione :
$ 0 cdot (c+d)+1 cdot (-c+d)+ 0 cdot 0 =0 $ da cui :
(2') $c=d$
Sostituendo (1') in (1) e (2') in (2) si hanno le equazioni di r :
\(\begin{cases}z=0\\2x+1=0\end{cases}\)
N.B. Questa soluzione può in parte esserti utile per risolvere l'eserc. 6
"ciromario":
Le equazioni dell'asse Y sono $x=0,z=0$ e pertanto il suo vettore di direzione è $(0,1,0)$
Sei stato gentilissimo, grazie mille per la risposta ma grazie al cielo ieri mattina ripensandoci in treno c'ero arrivato anch'io pensando ai versori (che noi chiamiamo e1, e2, e3 e quindi deducendo che la sua direzione doveva essere quella di e2 cioè (0,1,0)) ed effettivamente mi vergogno di me stesso per aver fatto questa domanda ma penso sia meglio fare brutta figura qui che non all'esame xD
E soprattutto ti ringrazio tantissimo per il proseguo dell'esercizio a cui non ci sarei mai arrivato da solo (anche perchè noi non abbiamo fatto il fascio di piani e quindi io so solo quello che mi hai detto tu). Inoltre c'è questo passaggio che non capisco:
"ciromario":
Imponendo che l'asse Y sia parallelo al piano generico del fascio si ha l'equazione :
$0 cdot 0+1 cdot (a+b)+ 0 cdot (a-b) =0$
Cosa rappresenta 0*0 +1 ?
Immagino che l'1 rappresenti la coordinata di Y, ma cos'è quello 0*0?
Il vettore di direzione dell'asse Y è $(0,1,0)$, mentre il vettore di direzione del generico piano del fascio è
$(0,a+b,a-b)$ [sostanzialmente sono i coefficienti delle incognite x,y,z nell'equazione del fascio e rappresentano anche il vettore di direzione della normale al fascio]. Ora il nostro asse Y, dovendo essere parallelo al piano generico del fascio, risulterà perpendicolare a tale normale e dunque i due vettori $(0,1,0),(0,a+b,a-b)$ dovranno essere perpendicolari. Ovvero deve verificarsi che :
$(0,1,0). (0,a+b,a-b)=0$ ( il punto indica il prodotto scalare)
E cioè:
$0*0+1*(a+b)+0*(a-b)=0$
da cui appunto $a=-b$
$(0,a+b,a-b)$ [sostanzialmente sono i coefficienti delle incognite x,y,z nell'equazione del fascio e rappresentano anche il vettore di direzione della normale al fascio]. Ora il nostro asse Y, dovendo essere parallelo al piano generico del fascio, risulterà perpendicolare a tale normale e dunque i due vettori $(0,1,0),(0,a+b,a-b)$ dovranno essere perpendicolari. Ovvero deve verificarsi che :
$(0,1,0). (0,a+b,a-b)=0$ ( il punto indica il prodotto scalare)
E cioè:
$0*0+1*(a+b)+0*(a-b)=0$
da cui appunto $a=-b$
"ciromario":
Il vettore di direzione dell'asse Y è $(0,1,0)$, mentre il vettore di direzione del generico piano del fascio è
$(0,a+b,a-b)$ [sostanzialmente sono i coefficienti delle incognite x,y,z nell'equazione del fascio e rappresentano anche il vettore di direzione della normale al fascio]. Ora il nostro asse Y, dovendo essere parallelo al piano generico del fascio, risulterà perpendicolare a tale normale e dunque i due vettori $(0,1,0),(0,a+b,a-b)$ dovranno essere perpendicolari. Ovvero deve verificarsi che :
$(0,1,0). (0,a+b,a-b)=0$ ( il punto indica il prodotto scalare)
E cioè:
$0*0+1*(a+b)+0*(a-b)=0$
da cui appunto $a=-b$
Ahhh ok capito, grazie mille
Ok il tuo metodo l'ho capito però non capisco perchè con il "mio" non viene lo stesso risultato.
La logica che applico è la stessa della tua ma senza usare l'equazione del fascio di piani.
Dunque ho che p1 deve passare per s1 e deve essere parallelo all'asse Y.
Allora io ho trovato che un vettore di direzione per s1 è (1,0,0)
Un piano è parallelo ad (1,0,0) se il suo vettore normale è perpendicolare ad (1,0,0)
Un piano è parallelo all'asse Y se il suo vettore normale è perpendicolare a (0,1,0)
Mettendo a sistema questa 2 condizioni trovo
a=0
b=0
Dunque n=(0,0,1)
Siccome so che z=y=0 nel primo caso allora il mio piano
$cz+d=0$ ha sicuramente d=0 quindi è
$z=0$ e dunque fin qui il risultato è lo stesso che veniva a te.
Il problema è col secondo piano e cioè
Dunque ho che p2 deve passare per s2 e deve essere parallelo all'asse Y.
Allora io ho trovato che un vettore di direzione per s2 è (0,0,1)
Un piano è parallelo ad (0,0,1) se il suo vettore normale è perpendicolare ad (0,0,1)
Un piano è parallelo all'asse Y se il suo vettore normale è perpendicolare a (0,1,0)
E dunque ho trovato
b=0
c=0
perfettamente in linea con il tuo risultato
Ma il problema viene ora è cioè avendo n2=(1,0,0)
ho che il mio piano è x+d=0
Come ci salto fuori da questo punto in poi? Normalmente prendo un punto che appartiene al piano e lo sostituisco alle coordinate x,y,z dell'equzione cartesiana del piano e trovo d (visto che a,b,c sono quelle del vettore normale che nel mio caso sono 1,0,0) invece qui come si fa? Qualsiasi cosa sostitusica a X naturalmente d viene il suo opposto mentre a te non veniva così. Dov'è che ho sbagliato? Grazie mille per tutto
La logica che applico è la stessa della tua ma senza usare l'equazione del fascio di piani.
"ciromario":
Eser. 5
Le equazioni dell'asse Y sono $x=0,z=0$ e pertanto il suo vettore di direzione è $(0,1,0)$
La retta r è l'intersezione tra il piano p1 passante per s1 e parallelo all'asse Y col piano p2 passante per s2 e anch'esso parallelo ad Y.
Dunque ho che p1 deve passare per s1 e deve essere parallelo all'asse Y.
Allora io ho trovato che un vettore di direzione per s1 è (1,0,0)
Un piano è parallelo ad (1,0,0) se il suo vettore normale è perpendicolare ad (1,0,0)
Un piano è parallelo all'asse Y se il suo vettore normale è perpendicolare a (0,1,0)
Mettendo a sistema questa 2 condizioni trovo
a=0
b=0
Dunque n=(0,0,1)
Siccome so che z=y=0 nel primo caso allora il mio piano
$cz+d=0$ ha sicuramente d=0 quindi è
$z=0$ e dunque fin qui il risultato è lo stesso che veniva a te.
Il problema è col secondo piano e cioè
Dunque ho che p2 deve passare per s2 e deve essere parallelo all'asse Y.
Allora io ho trovato che un vettore di direzione per s2 è (0,0,1)
Un piano è parallelo ad (0,0,1) se il suo vettore normale è perpendicolare ad (0,0,1)
Un piano è parallelo all'asse Y se il suo vettore normale è perpendicolare a (0,1,0)
E dunque ho trovato
b=0
c=0
perfettamente in linea con il tuo risultato
Ma il problema viene ora è cioè avendo n2=(1,0,0)
ho che il mio piano è x+d=0
Come ci salto fuori da questo punto in poi? Normalmente prendo un punto che appartiene al piano e lo sostituisco alle coordinate x,y,z dell'equzione cartesiana del piano e trovo d (visto che a,b,c sono quelle del vettore normale che nel mio caso sono 1,0,0) invece qui come si fa? Qualsiasi cosa sostitusica a X naturalmente d viene il suo opposto mentre a te non veniva così. Dov'è che ho sbagliato? Grazie mille per tutto
Un punto generico di $s_2$ è $(-1/2,-1/2,z)$ con z qualsiasi. Sostituendo nell'equazione $x+d=0$ si ha $-1/2+d=0$.
Da qui si ricava $d=1/2$ che sostituito in $x+d=0$ dà l'equazione $x+1/2=0$ o equivalentemente $2x+1=0$
Trovo che risolvere problemi del genere, evitando l'uso del fascio di piani, renda la cosa parecchio tortuosa e foriera di errori.
Da qui si ricava $d=1/2$ che sostituito in $x+d=0$ dà l'equazione $x+1/2=0$ o equivalentemente $2x+1=0$
Trovo che risolvere problemi del genere, evitando l'uso del fascio di piani, renda la cosa parecchio tortuosa e foriera di errori.
"ciromario":
Un punto generico di $s_2$ è $(-1/2,-1/2,z)$ con z qualsiasi. Sostituendo nell'equazione $x+d=0$ si ha $-1/2+d=0$.
Da qui si ricava $d=1/2$ che sostituito in $x+d=0$ dà l'equazione $x+1/2=0$ o equivalentemente $2x+1=0$
Trovo che risolvere problemi del genere, evitando l'uso del fascio di piani, renda la cosa parecchio tortuosa e foriera di errori.
Ah sìsì infatti l'errore che ho fatto era considerare solo la prima equazione cartesiana della retta cioè x-y=0
Non avevo considerato la seconda, quindi sì anche a me risulta esattamente come a te però sicuramente hai ragione nel dire che questa strada è foriera di errori.
Comunque son riuscito a fare l'esercizio 6, ora l'unico che mi manca è il 7, che sembra impossibile...
Comunque ora in questi giorni ci penso e magari se non ci riesco ti faccio sapere.
Grazie mille di tutto
Determinare equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per il punto di coordinate (0,1,2) e incidente le rette
s1: $\{(y -1= 0),(3x + z -3 = 0):}$ s2: $\{(x= 0),(z = 0):}$
Le 2 rette sono sghembe quindi faccio molta fatica coi piani visto che non esiste un piano che le contiene entrambe.
E allora io le metto tutte in forma parametrica, tenendo conto che la retta r passa per $(0,1,2)$:
r=$(0,1,2) + t(a,b,c)$
s1=$(0,1,3) + t' (1,0,-3)$
s2=$t'' (0,1,0)$
Dunque ho:
r: $\{(x=0+at),(y=1+bt),(z=2+ct):}$ s1: $\{(x=t'),(y=1), (z=3-3t'):}$ s2: $\{(x=0),(y=t''), (z=0'):}$
Adesso io voglio una retta $r$ che passi per (0,1,2) e che abbia direzione (a,b,c) tale che mi restituisca un punto in comune con entrambe le rette s1,s2 dunque le metto ad intersezione nel seguente modo:
Ora dato che la retta $r$ incide $s1$ metto a sistema r con s1 ed ottengo:
$\{(at=t'),(1+bt=1),(2+ct=3-3t'):}$
E dato che $r$ interseca $s2$ metto a sistema r con s2 ed ottengo:
$\{(at=0),(1+bt=t''),(2+ct=0):}$
Da quest'ultima riga ho che sicuramente t è diverso da 0, quindi dalla prima riga ottengo a=0
Questo a=0 lo vado a sostituire nel primo sistema ed ottengo t'=0 e visto che tè diverso da 0, sempre nel primo sistema, alla seconda riga ottengo b=0
Se b=0 la seconda riga del secondo sistema mi dice t''=1
E poi le ultime 2 righe di entrambi i sistemi mi danno risultato impossibile...
Cos'ho sbagliato?
L'errore sta nell'aver fatto combaciare il punto d'intersezione fra r ed s1 con quello di r ed s2 vero?
E' come se io stessi dicendo che esiste un punto in comune fra 3 rette?
E' come se io avessi messo tutto in un sistema da 6 equazioni...
Ma è chiaramento sbagliato perchè 2 rette sono sghembe e quindi non hanno nessun punto in comune...
Quindi come si fa?
s1: $\{(y -1= 0),(3x + z -3 = 0):}$ s2: $\{(x= 0),(z = 0):}$
Le 2 rette sono sghembe quindi faccio molta fatica coi piani visto che non esiste un piano che le contiene entrambe.
E allora io le metto tutte in forma parametrica, tenendo conto che la retta r passa per $(0,1,2)$:
r=$(0,1,2) + t(a,b,c)$
s1=$(0,1,3) + t' (1,0,-3)$
s2=$t'' (0,1,0)$
Dunque ho:
r: $\{(x=0+at),(y=1+bt),(z=2+ct):}$ s1: $\{(x=t'),(y=1), (z=3-3t'):}$ s2: $\{(x=0),(y=t''), (z=0'):}$
Adesso io voglio una retta $r$ che passi per (0,1,2) e che abbia direzione (a,b,c) tale che mi restituisca un punto in comune con entrambe le rette s1,s2 dunque le metto ad intersezione nel seguente modo:
Ora dato che la retta $r$ incide $s1$ metto a sistema r con s1 ed ottengo:
$\{(at=t'),(1+bt=1),(2+ct=3-3t'):}$
E dato che $r$ interseca $s2$ metto a sistema r con s2 ed ottengo:
$\{(at=0),(1+bt=t''),(2+ct=0):}$
Da quest'ultima riga ho che sicuramente t è diverso da 0, quindi dalla prima riga ottengo a=0
Questo a=0 lo vado a sostituire nel primo sistema ed ottengo t'=0 e visto che tè diverso da 0, sempre nel primo sistema, alla seconda riga ottengo b=0
Se b=0 la seconda riga del secondo sistema mi dice t''=1
E poi le ultime 2 righe di entrambi i sistemi mi danno risultato impossibile...
Cos'ho sbagliato?
L'errore sta nell'aver fatto combaciare il punto d'intersezione fra r ed s1 con quello di r ed s2 vero?
E' come se io stessi dicendo che esiste un punto in comune fra 3 rette?
E' come se io avessi messo tutto in un sistema da 6 equazioni...
Ma è chiaramento sbagliato perchè 2 rette sono sghembe e quindi non hanno nessun punto in comune...
Quindi come si fa?
Poiché la retta $r$ cercata deve passare per il punto $Q(0,1,2)$ e deve incidere la retta $s_1$ allora essa appartiene al piano $pi_1$ individuato da $Q$ e da $s_1$. L'equazione di tale piano si ottiene scrivendo l'equazione del fascio di piani di asse la retta $s_1$:
(A) $lambda(y-1)+mu(3x+z-3)=0$
e poi imponendo il passaggio per Q :
$lambda(1-1)+mu(2-3)=0$, da cui : $mu=0$
Sostituendo in (A) si ha l'equazione di $pi_1$
(a) $pi_1 : y-1=0$
Analogamente la retta $r$ deve appartenere al piano $pi_2$ contenente il punto Q e la retta $s_2$
Agendo come sopra, l'equazione del fascio di asse $s_2$ è:
(B) $sigma(x)+tau(z)=0$
ed imponendo il passaggio per $Q$ si ha :
$sigma\cdot 0 +tau\cdot 2=0$, da cui $tau=0$
e quindi la (B) diventa:
(b) $pi_2: x=0$
Mettendo insieme (a) e (b) si hanno le equazioni di r :
\( \begin{cases} x=0 \\ y-1=0 \end{cases} \)
(A) $lambda(y-1)+mu(3x+z-3)=0$
e poi imponendo il passaggio per Q :
$lambda(1-1)+mu(2-3)=0$, da cui : $mu=0$
Sostituendo in (A) si ha l'equazione di $pi_1$
(a) $pi_1 : y-1=0$
Analogamente la retta $r$ deve appartenere al piano $pi_2$ contenente il punto Q e la retta $s_2$
Agendo come sopra, l'equazione del fascio di asse $s_2$ è:
(B) $sigma(x)+tau(z)=0$
ed imponendo il passaggio per $Q$ si ha :
$sigma\cdot 0 +tau\cdot 2=0$, da cui $tau=0$
e quindi la (B) diventa:
(b) $pi_2: x=0$
Mettendo insieme (a) e (b) si hanno le equazioni di r :
\( \begin{cases} x=0 \\ y-1=0 \end{cases} \)
"ciromario":
Poiché la retta $r$ cercata deve passare per il punto $Q(0,1,2)$ e deve incidere la retta $s_1$ allora essa appartiene al piano $pi_1$ individuato da $Q$ e da $s_1$. L'equazione di tale piano si ottiene scrivendo l'equazione del fascio di piani di asse la retta $s_1$:
(A) $lambda(y-1)+mu(3x+z-3)=0$
e poi imponendo il passaggio per Q :
$lambda(1-1)+mu(2-3)=0$, da cui : $mu=0$
Sostituendo in (A) si ha l'equazione di $pi_1$
(a) $pi_1 : y-1=0$
Analogamente la retta $r$ deve appartenere al piano $pi_2$ contenente il punto Q e la retta $s_2$
Agendo come sopra, l'equazione del fascio di asse $s_2$ è:
(B) $sigma(x)+tau(z)=0$
ed imponendo il passaggio per $Q$ si ha :
$sigma\cdot 0 +tau\cdot 2=0$, da cui $tau=0$
e quindi la (B) diventa:
(b) $pi_2: x=0$
Mettendo insieme (a) e (b) si hanno le equazioni di r :
\( \begin{cases} x=0 \\ y-1=0 \end{cases} \)
Wow, mi vergogno di me stesso perchè avrei dovuto arrivarci da solo dopo tutti questi esercizi simili...
Prima in classe a fine lezione ho chiesto al prof e mi ha suggerito il tuo stesso procedimento, che poi ho risolto con il tuo metodo in 2 minuti, cioè quello di usare le equazioni del fascio di piani...
E devo ammettere che così è veramente facile... e non ci ero arrivato da solo... wow...
...E non solo io... ma anche a tutti i compagni a cui ho chiesto...
...Si vede che noi abbiamo fatto veramente pochi esercizi su questo argomento...
...Comunque ora penso di aver capito tante cose anche grazie a questo esercizio...
E ti ringrazio tantissimo per la risposta, per tutto il tempo che mi hai dedicato e perchè mi hai insegnato l'equazione del fascio di piani che in classe non abbiam fatto oltre ad avermi illuminato anche sugli altri esercizi
E di che ti dovresti vergognare ? Non è grave ignorare certe cose, grave sarebbe non impararle ! 
"ciromario":
E di che ti dovresti vergognare ? Non è grave ignorare certe cose, grave sarebbe non impararle !
Ok
Comunque io userò sempre questi metodi che mi hai insegnato tu perchè sono infallibili però vorrei avere una conoscenza migliore della materia che non si limiti al saper risolvere un esercizio con un solo metodo ma vorrei avere una visione più ampia quindi vorrei chiederti se posso risolvere quell'esercizio anche in questa maniera:
Per prima cosa metto in forma parametrica le rette S1 ed S2
"Atem":
E allora io le metto tutte in forma parametrica, tenendo conto che la retta r passa per $(0,1,2)$:
r=$(0,1,2) + t(a,b,c)$
s1=$(0,1,3) + t' (1,0,-3)$
s2=$t'' (0,1,0)$
Dunque ho:
r: $\{(x=0+at),(y=1+bt),(z=2+ct):}$ s1: $\{(x=t'),(y=1), (z=3-3t'):}$ s2: $\{(x=0),(y=t''), (z=0'):}$
in modo da ricavare il punto generico:
P1 $in$ S1 = $(t', 1, 3-3t')$
P2 $in$ S2 = $(0, t'', 0)$
Poi ho che
Q $in$ r = $(0,1,2)$
E allora io voglio trovare la direzione della generica retta passante per Q e P1
cioè (Q-P1) = (-t', 0, -1-t')
e poi trovo la direzione della generica retta passante per Q e P2
cioè (Q-P2) = (0, 1-t'', 2)
E ora impongo che le 2 direzioni devono essere uguali cioè:
$(Q-P1) = k*(Q-P2)$
da cui ricavo
$((-t'),(0),(-1-3t'))$ = k* $((0),(1-t''),(2))$
da cui ricavo
$t'=0$
$t''=1$
$k=-1/2$
E quindi andando a sostituire su
(Q-P1) trovo che la direzione della mia retta è (0,0,-1)
(Q-P2) trovo che la direzione della mia retta è (0,0,2)
Quindi $(Q-P1) = -1/2 (Q-P2)$ tutto come previsto la direzione è dunque $(0,0,1)$
E allora ho che la retta passante per Q ed avente direzione delle generiche rette passanti per (Q-P1) e (Q-P2) è:
$r:(0,1,2)+t(0,0,1)$
da cui le equazioni cartesiane
${(x=0),(y=1):}$
Ok è venuto giusto, ma mi è venuto giusto mentre scrivevo questo post perchè sul foglio avevo fatto un errore di calcolo e quindi mi veniva tutto sballato e allora mi chiedevo come mai fosse sbagliato...
Allora visto che ho scritto questo post, la mia domanda è un'altra per capire meglio come funziona la questione...
Sia con il tuo metodo che con il mio metodo è venuto lo stesso risultato in termini di equazioni cartesiane, e allora mi chiedo...
Dato che una stessa retta ha infinite possibili equazioni cartesiane, poichè ci sono infinite coppie di piani che, intersecandosi, individuano la stessa retta...
...Perchè a noi è venuta la stessa identica coppia? Perchè usando 2 metodi diversi a me è venuta la stessa coppia che è venuta a te?
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