Esercizi su prodotti scalari non degeneri e anche su tensori
Buongiorno ho due problemi che non riesco a risolvere:
1)Si dimostri che se $\langle, \rangle$ e’ un prodotto scalare in $R^n$ non degenere, NON definito positivo e NON definito negativo, esiste un vettore non nullo u ∈ $R^n$ tale che $\langle u, u \rangle$ = 0
2)Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale. Si dia
un isomorfismo tra V* ⊗ V* e lo spazio vettoriale delle forme bilineari su V SENZA fissare una base.
Per 1) avevo pensato di sfruttare il non degenere, ma non riesco ad andare avanti, mentre per 2) sono proprio in alto mare
1)Si dimostri che se $\langle, \rangle$ e’ un prodotto scalare in $R^n$ non degenere, NON definito positivo e NON definito negativo, esiste un vettore non nullo u ∈ $R^n$ tale che $\langle u, u \rangle$ = 0
2)Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale. Si dia
un isomorfismo tra V* ⊗ V* e lo spazio vettoriale delle forme bilineari su V SENZA fissare una base.
Per 1) avevo pensato di sfruttare il non degenere, ma non riesco ad andare avanti, mentre per 2) sono proprio in alto mare
Risposte
Il secondo problema non l'ho capito.
Riguardo al primo problema, sappiamo che:
a ) è un prodotto scalare, quindi legato ad una forma bilineare simmetrica S
b ) almeno un autovalore di S è negativo e nessun autovalore è zero.
Il vettore $vec(u)=sqrt((lambda_j)/lambda_i)vec(q_i)+vec(q_j)$ è isotropo
(dove $vec(q_i)$ e $vec(q_j)$ sono due autovettori ortonormali associati rispettivamente agli autovalori $lambda_i$ e $-lambda_j$ con $lambda_i, lambda_j>0$)
$u^TSu=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^TS[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt((lambda_j)/lambda_i)Sq_i+Sq_j]=$
$=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt((lambda_j)/lambda_i)lambda_iq_i-lambda_jq_j]=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt(lambda_jlambda_i)q_i-lambda_jq_j]=lambda_j-lambda_j=0$
Riguardo al primo problema, sappiamo che:
a ) è un prodotto scalare, quindi legato ad una forma bilineare simmetrica S
b ) almeno un autovalore di S è negativo e nessun autovalore è zero.
Il vettore $vec(u)=sqrt((lambda_j)/lambda_i)vec(q_i)+vec(q_j)$ è isotropo
(dove $vec(q_i)$ e $vec(q_j)$ sono due autovettori ortonormali associati rispettivamente agli autovalori $lambda_i$ e $-lambda_j$ con $lambda_i, lambda_j>0$)
$u^TSu=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^TS[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt((lambda_j)/lambda_i)Sq_i+Sq_j]=$
$=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt((lambda_j)/lambda_i)lambda_iq_i-lambda_jq_j]=[sqrt((lambda_j)/lambda_i)q_i+q_j]^T[sqrt(lambda_jlambda_i)q_i-lambda_jq_j]=lambda_j-lambda_j=0$
1) Esistono quindi vettori $u$ e $v$ con $\langle u,u\rangle>0$ e con $\langle v,v\rangle<0$.
Consideriamo vettori della forma $u+tv$ con $t\in RR$.
Poiche' $u$ e $v$ sono per forza indipendenti, i vettori $u+tv$ non sono nulli.
Abbiamo che
$$
\langle u+tv,u+tv\rangle = \langle u,u\rangle+2t\langle u,v\rangle+t^2\langle v,v\rangle.
$$
Il discriminante del polinomio (in $t$) e’ uguale a $4\langle u,v\rangle^2-4\langle u,u\rangle
\langle v,v\rangle$ ed e’ positivo.
Esiste quindi qualche zero $t\in RR$.
2) In generale, per due spazi vettoriali $V$ e $W$ su un campo $k$, c’e’ la mappa lineare
naturale $V^{\ast}\otimes W^{\ast}\rightarrow (V\otimes W)^{\ast}$ data da $(f,g)\mapsto b$
dove $b$ su tensori puri e’ data dalla formula $b(v,w)=f(v)g(w)$.
Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, questa mappa e’ un isomorfismo.
Nel tuo caso abbiamo che $k=RR$ e $V=W$. Va osservato che, piu’ o meno
per definizione del prodotto tensoriale, lo spazio $(V\otimes V)^{\ast}$ e’ canonicamente
isomorfo allo spazio delle forme bilineari $V\times V\rightarrow RR$.
Adesso vedo che ti ha anche risposto Bokonon.
Consideriamo vettori della forma $u+tv$ con $t\in RR$.
Poiche' $u$ e $v$ sono per forza indipendenti, i vettori $u+tv$ non sono nulli.
Abbiamo che
$$
\langle u+tv,u+tv\rangle = \langle u,u\rangle+2t\langle u,v\rangle+t^2\langle v,v\rangle.
$$
Il discriminante del polinomio (in $t$) e’ uguale a $4\langle u,v\rangle^2-4\langle u,u\rangle
\langle v,v\rangle$ ed e’ positivo.
Esiste quindi qualche zero $t\in RR$.
2) In generale, per due spazi vettoriali $V$ e $W$ su un campo $k$, c’e’ la mappa lineare
naturale $V^{\ast}\otimes W^{\ast}\rightarrow (V\otimes W)^{\ast}$ data da $(f,g)\mapsto b$
dove $b$ su tensori puri e’ data dalla formula $b(v,w)=f(v)g(w)$.
Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, questa mappa e’ un isomorfismo.
Nel tuo caso abbiamo che $k=RR$ e $V=W$. Va osservato che, piu’ o meno
per definizione del prodotto tensoriale, lo spazio $(V\otimes V)^{\ast}$ e’ canonicamente
isomorfo allo spazio delle forme bilineari $V\times V\rightarrow RR$.
Adesso vedo che ti ha anche risposto Bokonon.
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