Esercizi su matrici

[dennis87]

Ciao a tutti, ho provato a risolvere un paio di esercizi con delle matrici, mi potete dire se sono corretti o no?
1) $ Sia A=( ( -2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ trovare una base del Ker [tex]f_A[/tex]
io ho fatto cosi, so, o almeno penso sia cosi, che per trovare una base del nucleo devo risolvere il sistema lineare associato alla matrice, quindi devo risolvere
[tex]\[\begin{sistema} -2x=0 \\ -2y+z=0 \\ -y=0 \\ 0=0 \end{sistema}\][/tex] e quindi una base del nucleo è l'origine?

2) [tex]Sia M_{a,b}=\begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a \end{pmatrix}[/tex] Calcolare il rango e il determinante al variare di a e b.
A me viene che il rango della matrice è 2 se a=b, 4 se a è diversa da b
Il determinante mi viene [tex](a^2-b^2)^2[/tex]

[cc911]

1) ricordati che hai t come incognita libera,quindi ker f ha dimensione 1.

2)dovrebbe essere corretto.

[dennis87]

scusami non capisco che intendi dire per l'es 1

[cc911]

$ f_a : R^4 rarr R^4 $,quindi un vettore generico non è (x,y,z) ma (x,y,z,t) e tu dal sistema ricavi le seguenti condizioni : x=0,y=0,z=0 . Un vettore di kerf quindi sarà (0,0,0,t),dai un valore qualunque a t( solitamente si da 1) e hai una base.

[dennis87]

e quindi il vettore (0,0,0,1) è una base del nucleo?

[cc911]

esattamente!

[dennis87]

grazie mille...sempre con la solita matrice del primo es, devo trovare una base di [tex]Im f_A \cap {x \in R^4 | x_1+x_3=0}[/tex] che vuol dire questo?

[cc911]

mi dispiace,non capisco la richiesta


Edit : EUREKA!!!! capito! ci penso su e ti faccio sapere

[cc911]

Allora, con x credo si indichi un vettore $( x_1,x_2,x_3,x_4)$ e poi sappiamo anche che $x_1+x_3=0$....devi intersecare questo sottospazio con l'imf

[dennis87]

prima della prima x c'è la { e dopo lo 0 c'è }, comunque ne ho altri due che non capisco, sempre che si riferiscono alla prima matrice:
Trovare un applicazione lineare non nulla [tex]g:R^4 \to R^4[/tex] tale che [tex]f_A o g = 0[/tex].

Trovare, se esistono, v e w in [tex]R^4[/tex] non nulli e tali che [tex]f_A(v) = w[/tex] e [tex]f_A(w) = v[/tex]

[dennis87]

per trovare il sottospazio dell'immagine basta che faccio il rango e vedo quali sono i vettori linearmente indipendenti, e questi sono la base dell'immagine giusto? è possibile allora che la base dell'immagine sia (-2,0,0,0) (0,-2,1,0) (0,-1,0,0)?

[cc911]

Per trovare g devi sfruttare il fatto che quando componi due funzioni le loro matrici si moltiplicano,quindi devi trovare una matrice che moltiplicata per A dia la matrice nulla.

per l'ultimo basta imporre le condizioni che hai scritto con due vettori generici.

[cc911]

il ragionamento teorico è giusto,solo che devi usare le colonne non le righe!!! quindi (-2,0,0,0) (0,-2,-1,0) (0,1,0,0)

[dennis87]

non è che potresti postare i passaggi degli es per favore? non riesco a capire...

[cc911]

Per trovare la g scrivi una matrice generica e la moltiplichi con A a sinistra imponendo l'uguaglianza con la matrice nulla. Trovi che la matrice associata a g deve essere del tipo : $( (0,0,0,a_14),(0,0,0,a_24),(0,0,0,a_34),(0,0,0,a_44))$


Per l'altro esercizio prendi un vettore colonna generico w=$((w_1),(w_2),(w_3),(w_4))$ lo moltiplichi a destra ad A e uguagli al vettore colonna generico v=$((v_1),(v_2),(v_3),(v_4))$, fai la stessa cosa con v uguagliandolo a w e ottieni un sistema con 8 equazioni impossibile.