Esercizi su inviluppo, coni e polari
Ciao a tutti! Ho bisogno di un po' di aiuto per capire i seguenti esercizietti.
Prima di tutto metto qui un po' di definizioni, in modo da sapere di cosa sto parlando:
considero sempre $X\subset \mathbb{R}^n$ e definisco:
$l i n(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari degli elementi di $X$ $\}$
nello specifico poi definisco
$aff(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari affini degli elementi di $X$ $\}$ (somma dei coefficienti =1)
$con e(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari con coefficienti non negativi degli elementi di $X$ $\}$
$conv(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari affini con coefficienti non negativi degli elementi di $X$ $\}$
La prima cosa che non so dimostrare, perchè ho sempre pensato fosse scontata, è il fatto che $l i n (X)$ sia il più piccolo spazio lineare contenente $X$. I problemi nell'affrontare questa dimostrazione sorgono dall'origine, non so come partire. Cosa dovrei fare? Quello che mi immagino è che debba supporre che esista uno spazio lineare contenente $X$, a sua volta contenuto strettamente in $l i n (X)$ e trovare una contraddizione! Però non riesco a trovare questo assurdo, potreste aiutarmi?
Inizio postando questo e, mentre aspetto qualche risposta, provo a ragionare ancora sugli altri quesiti! Grazie mille
Prima di tutto metto qui un po' di definizioni, in modo da sapere di cosa sto parlando:
considero sempre $X\subset \mathbb{R}^n$ e definisco:
$l i n(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari degli elementi di $X$ $\}$
nello specifico poi definisco
$aff(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari affini degli elementi di $X$ $\}$ (somma dei coefficienti =1)
$con e(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari con coefficienti non negativi degli elementi di $X$ $\}$
$conv(X)=\{$insieme delle combinazioni lineari affini con coefficienti non negativi degli elementi di $X$ $\}$
La prima cosa che non so dimostrare, perchè ho sempre pensato fosse scontata, è il fatto che $l i n (X)$ sia il più piccolo spazio lineare contenente $X$. I problemi nell'affrontare questa dimostrazione sorgono dall'origine, non so come partire. Cosa dovrei fare? Quello che mi immagino è che debba supporre che esista uno spazio lineare contenente $X$, a sua volta contenuto strettamente in $l i n (X)$ e trovare una contraddizione! Però non riesco a trovare questo assurdo, potreste aiutarmi?
Inizio postando questo e, mentre aspetto qualche risposta, provo a ragionare ancora sugli altri quesiti! Grazie mille
Risposte
In realtà è molto più semplice di come la stia mettendo tu. Prendi un sottospazio $Y$ di $RR^n$, contenente $X$. E' molto comodo pensare ai sottospazi vettoriali come ai sottoinsiemi "stabili rispetto alle combinazioni lineari". Quindi se hai $y_1...y_n$ in $Y$, anche tutte le loro possibili combinazioni lineari $lambda_1y_1+...+lambda_ny_n$ devono stare in $Y$. In particolare questo deve essere vero per le combinazioni lineari di elementi di $X$.
Hai ragione! cercavo solo di complicarmi la vita!
Ecco gli altri deu punti che non riesco a fare:
1. $aff(X)=li n(X)$ se e solo se $0 \in aff(X)$
Ovviamente se $aff(X)=l i n(X)$ ho che $O\in aff(X)$ perchè so che $0 \in li n(X)$. Però sull'altra implicazione ho dei problemi. Io so che $0$ è scrivibile come combinazione lineare di elementi di $X$ tali che la somma dei coefficienti considerati sia $1$ e quello che voglio dimostrare è che di conseguenza tutti gli elementi di $l i n (X)$ si possono scrivere come combinazione lineare con coefficienti la cui somma sia $1$. Non riesco però a capire come dimostrare questo. Ho provato a determinare i coefficienti con somma $1$ per un generico elemento, considerando quelli di $0$ ma non riesco, aiuto?
2. qui brancolo proprio nel buio: $l i n(X)=con e(X)$ se e solo se $-x\in con e(X\ \{x\})$ per ogni $x\inX$... vuoto totale...
Ecco gli altri deu punti che non riesco a fare:
1. $aff(X)=li n(X)$ se e solo se $0 \in aff(X)$
Ovviamente se $aff(X)=l i n(X)$ ho che $O\in aff(X)$ perchè so che $0 \in li n(X)$. Però sull'altra implicazione ho dei problemi. Io so che $0$ è scrivibile come combinazione lineare di elementi di $X$ tali che la somma dei coefficienti considerati sia $1$ e quello che voglio dimostrare è che di conseguenza tutti gli elementi di $l i n (X)$ si possono scrivere come combinazione lineare con coefficienti la cui somma sia $1$. Non riesco però a capire come dimostrare questo. Ho provato a determinare i coefficienti con somma $1$ per un generico elemento, considerando quelli di $0$ ma non riesco, aiuto?
2. qui brancolo proprio nel buio: $l i n(X)=con e(X)$ se e solo se $-x\in con e(X\ \{x\})$ per ogni $x\inX$... vuoto totale...
Prima mi è venuta un'idea per il secondo punto, quello di $"lin"$ e $"aff"$, vediamo che ne pensi.
Dunque, supponiamo che $0\in"aff"(X)$. Ogni elemento di $"aff"(X)$ è anche in $"lin"(X)$, visto che, in concreto, è sempre una combinazione lineare di elementi di $X$. Però $"aff"(X)$ è un sottospazio affine in $RR^n$. In casi come questo i sottospazi affini sono (anche qua, è detto un po' alla buona ma funziona) i traslati di sottospazi vettoriali: cioè cose tipo $p+V$ dove $V$ è la direzione e $p$ è un punto del sottospazio. In conclusione:
come $p$ prendiamo $0$;
allora $"aff"(X)$ diventa $0+V=V$, cioè $"aff"(X)$ è un sottospazio vettoriale di $RR^n$;
dal fatto che $X\sub"aff"(X)$ segue che $"lin"(X)\sub"aff"(X)$, perché $"lin"(X)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente $X$. L'altra inclusione l'avevamo dimostrata all'inizio.
Non è niente di che però spero ti possa servire!
Dunque, supponiamo che $0\in"aff"(X)$. Ogni elemento di $"aff"(X)$ è anche in $"lin"(X)$, visto che, in concreto, è sempre una combinazione lineare di elementi di $X$. Però $"aff"(X)$ è un sottospazio affine in $RR^n$. In casi come questo i sottospazi affini sono (anche qua, è detto un po' alla buona ma funziona) i traslati di sottospazi vettoriali: cioè cose tipo $p+V$ dove $V$ è la direzione e $p$ è un punto del sottospazio. In conclusione:
come $p$ prendiamo $0$;
allora $"aff"(X)$ diventa $0+V=V$, cioè $"aff"(X)$ è un sottospazio vettoriale di $RR^n$;
dal fatto che $X\sub"aff"(X)$ segue che $"lin"(X)\sub"aff"(X)$, perché $"lin"(X)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente $X$. L'altra inclusione l'avevamo dimostrata all'inizio.
Non è niente di che però spero ti possa servire!
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