Esercizi sottospazio, base e dimensione

[vinxs89]

Salve, ho un esercizio per l'esame di matematica discreta in cui ho dei dubbi.
Questo è l'esercizio:

Nello spazio vettoriale reale $RR^4$ si consideri il sottoinsieme

$ K = {(a,b,c,d) in RR^4 : a+c = d, b = -d} $

1) Si dimostri che $K$ è un sottospazio di $RR^4$
2) Si determini una base di $K$
3) Si determini la dimensione di $K$
4) Posti $v_1=(2,-5,3,5)$, $v_2=(2,-6,4,6)$, $v_3=(3,-6,3,6)$, si stabilisca motivando la risposta se il sottoinsieme ${v_1,v_2,v_3}$ di $K$ è linearmente dipendente o indipendente.

I primi 3 punti credo di averli fatti bene, vorrei giusto sapere se sono corretti e se c'è bisogno di un modo (più) formale nello svolgimento.

Primo Punto
Per essere un sottospazio bisogna dimostrare che
a) il vettore nullo appartiene a $K$;
$v_0(0,0,0,0) in K$, poichè $a+c=d, b=-d$ è soddisfatta.

b) Presi due vettori qualsiasi $x,y in K$, $x-y in K$
$x = (a,b,c,d), y = (a',b',c',d') in K,$
$x-y = (a-a',b-b',c-c',d-d') in K$ poichè
1)$(a-a')+(c-c')=(d-d') => (a+c)-(a'+c')=d-d'$
2)$(b-b') = -(d-d') => b -b' = -d + d'$

c) Per ogni vettore $x in K$ e per ogni $alpha in R$, $alphax in K$
$x = (a,b,c,d) in K, alpha in RR $
$alphax = (alphaa,alphab,alphac,alphad) in K$ poichè
1) $alphaa+alphac=alphad => alpha(a+c) = alpha(d) => a+c = d$
2) $alphab = -alphad => alpha(b) = -alpha(d) => alpha(b) = alpha(-d) => b = -d$

Secondo Punto
Il generico vettore di $K$ può essere scritto nella forma $(r,-r-s,s,r+s)$ e quindi $r(1,-1,0,1)+s(0,-1,1,1)$.
I vettori $(1,-1,0,1)$ e $(0,-1,1,1)$ generano $K$ ed essendo linearmente indipendenti ne sono una base.
Quindi $B(K) = {(1,-1,0,1),(0,-1,1,1)}$

Terzo Punto
La dimensione di $K$ è uguale alla cardinalità della sua base quindi $dim(K) = |B(K)| = 2$.

Quarto Punto
Ho impostato il sistema e ottengo che due righe sono combinazione lineare delle altre 2, quindi ho due equazioni in 3 variabili e quindi anche senza risolverlo dovrebbero essere linearmente dipendenti giusto?

Scusate per il papiro e grazie anticipate!

[Chiariello1]

Detto V il sottospazio di R[x] generato dai polinomi a(x)=(1- x)(1+x) b(x)=(1- x)(1-x) c(x)=(1- x)
si ha che
A) dim(V)= 2
B) dim(V)= 1
A) dim(V)=3
A) dim(V)= infinito

[Chiariello1]

Come si svogle questo esercizio????